Question

12．近年来，随着人类对火星的了解越来越多，美国等国家都已经开始进行移民火星的科学探索，并面向全球招募“单程火星之旅”的志愿者，若某物体在火星表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的1.5倍，已知地球半径是火星半径的2倍．
（1）求火星表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值．
（2）如果将来成功实现了“火星移民”，求出在火星表面发射载人航天器的最小速度v₁与地球上卫星最小发射速度v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的位移时间关系公式$h=\frac{1}{2}g{t^2}$即可求出；
（2）第一宇宙速度是星球表面的环绕速度，重力等于向心力，根据万有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）根据自由落体运动的位移时间关系公式$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，有：$g=\frac{2h}{t^2}$，
解得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{t}_{2}^{2}}{{t}_{1}^{2}}$=$\frac{4}{9}$
（2）第一宇宙速度是星球表面的环绕速度，重力等于向心力，根据牛顿第二定律，有：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$，
故：$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{g_1}{R_1}}}{{{g_2}{R_2}}}}=\sqrt{\frac{4}{9}×\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
答：（1）求火星表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值是$\frac{4}{9}$．
（2）在火星表面发射载人航天器的最小速度v₁与地球上卫星最小发射速度v₂的比值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 该题结合自由落体运动考查万有引力定律，和牛顿第二定律的应用，牢记几个相关的公式即可．