Question

用单位长度的质量为0.5kg/m的直木板做成直轨道，轨道的左端A搁在一个水平台上，并与一个固定光滑曲面的底端平滑相接，轨道在B点处与一竖直支架固定在一起，B点到A端的距离为0.8m，支架的高也为0.8m，轨道恰好水平。支架的下端与垂直于纸面的固定轴O连接，因此轨道可绕轴O沿顺时针方向翻动。现将一个可看做质点的滑块从曲面上P点由静止释放，已知滑块质量为0.4kg，P到轨道的竖直距离为0.2m，滑块与轨道之间的动摩擦因数为0.125，重力加速度g取10m/s²。

（1）求滑块运动到A点时的速度大小；

（2）若轨道长为1.024m，请通过计算确定滑块是否能水平飞离轨道；

（3）用同样的直木板，做成不同长度的直轨道，保持B点到轨道左端A的距离为0.8m，仍将滑块从P点由静止释放，为确保滑块在轨道上滑行时支架不翻倒，求轨道长度的范围。

Answer 1

（1）滑块从P到A，由 mv_A²-0=W_G，可解得v_A=2m/s（3分）

（2）假设轨道固定且足够长，滑块从P运动到轨道上，设在水平轨道上能滑行的最大距离为s，

由W_f= W_G，μmgs =mgh，可解得s =  =m=1.6m>1.024m

所以滑块能运动到轨道末端（3分）

滑块在轨道末端时，轨道的重力矩为MgL_M=0.5×1.024×10×（0.8-）N·m=1.47 N·m

滑块的压力和摩擦力的力矩为：

mgL_m+μmg L_f=0.4×10×（1.024-0.8）N·m+0.125×0.4×10×0.8 N·m=1.296 N·m

因为轨道的重力矩大于滑块的压力和摩擦力的力矩，所以轨道不会翻转。（3分）

所以滑块能水平飞离轨道。（1分）

（3）设轨道长度为xm，轨道质量为M=0.5xkg

恰好翻倒时，Mg（0.8-x）=mg（x-0.8）+μmg×0.8

可求出x=m （或1.058m）

所以轨道长度的范围为（0.8，）m（3分）