Question

8．如图所示，在竖直面上固定着一根光滑绝缘的圆形空心管，其圆心在O点．过O点的一条水平直径及其延长线上的A、B两点固定着两个电荷．其中固定于A点的为正电荷，所带的电荷量为Q；固定于B点的是未知电荷．在它们形成的电场中，有一个可视为质点的质量为m、带电荷量为q的小球正在空心管中做圆周运动，若已知小球以某一速度通过最低点C处时，小球恰好与空心管上、下壁均无挤压且无沿切线方向的加速度，A、B间的距离为L，∠ABC=∠ACB=30°．CO⊥OB，静电力常量为k，重力加速度为g．
（1）确定小球和固定在B点的电荷的带电性质，并在图上作出小球在C处时的受力示意图．
（2）求固定在B点的电荷所带的电荷量．
（3）求小球运动到最高点处，空心管对小球作用力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球做圆周运动，必须有向心力，根据小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度可知，小球在C点的合力方向一定沿CO且指向O点，作出力图，即可判断出小球带负电，B带负电．
（2）根据小球在C点无切向加速度，切线方向力平衡，根据库仑定律列式求得B的电荷量．
（3）对C点受力分析根据牛顿运动定律和动能定理进行解答．

解答 解：（1）由小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度，可知小球在C点的合力方向一定沿CO且指向O点，所以A处电荷对小球吸引，B处电荷对小球排斥，因为A处电荷为正，所以小球带负电，B带负电，如图所示．
（2）因为∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，由几何关系得：BC=2ABcos30°=$\sqrt{3}$L
由于无切向加速度，小球沿切线方向的合力为零，则有：
 k$\frac{qQ}{{L}^{2}}$cos60°=k$\frac{q{Q}_{B}}{（\sqrt{3}L）^{2}}$cos30°，
解得：Q_B=$\sqrt{3}$Q；
（3）设小球在最低点C处的速度为v_C，
则：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
小球从C点运动到最高点的过程中，电势能不变，故由动能定理知：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv²，
小球在最高点受到A、B电荷的作用力合为F，方向竖直向下
即：F+mg-F_管=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_管=6mg，故空心管对小球的作用力大小为6mg，方向竖直向上．
答：（1）小球带负电，B处电荷带负电，小球的受力情况如图所示；
小球和固定在B点的电荷的带电性质，并在图上作出小球在C处时的受力示意图．
（2）固定在B点的电荷所带的电荷量为$\sqrt{3}$Q．
（3）小球运动到最高点处，空心管对小球作用力的大小为6mg，方向：方向竖直向上．

点评 本题的突破口是“小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度”，分析小球的受力情况，确定出向心力，判断小球与B的电性．