Question

9．如图所示，水平方向的匀强磁场呈带状分布，两区域磁感应强度不同，宽度都是L，间隔是2L．边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框，处于竖直平面且与磁场方向垂直，底边平行于磁场边界，离第一磁场的上边界的距离为L．线框从静止开始自由下落，当线框穿过两磁场区域时恰好都能匀速运动．若重力加速度为g，求：
（1 ）第一个磁场区域的磁感应强度B₁；
（2）线框从开始下落到刚好穿过第二磁场区域的过程中产生的总热量Q．
（3 ）若线框进入第一个磁场过程中，通过线框任一横截面的电荷量为q₁，进入第二个磁场过程中，通过线框任一横截面的电荷量为q₂，求q₁与q₂之比．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律可求得线框刚进入磁场时的速度，再根据E=BLv可求得电动势，根据欧姆定律可求得电流，根据安培力公式受求出安培力大小，再根据平衡条件可求得磁感应强度；
（2）明确线框下落过程中能量转化关系，根据能量守恒定律可求得产生的总热量；
（3）根据法拉第电磁感应定律可求得平均电动势，再结合欧姆定律和电量的计算公式可求得电量的表达式，再根据在两个磁场中均做匀速运动，由平衡条件可求得B与L的关系，联立即可求得电量比值．

解答 解：（1）从线框开始运动到刚要进入第一个磁场时，设此时线框的速度为v₁
由机械能守恒定律得：mgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…①
穿过磁场时切割磁场产生的电动势为：E₁=B₁Lv₁…②
根据欧姆定律得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$…③
线框受到的安培力：F₁=B₁I₁L…④
因为线框做匀速运动，根据平衡可得：mg=F₁ …⑤
联立①②③④⑤式得：B₁=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{\sqrt{2gL}}}$
（2）从线框开始运动到刚要进入第二个磁场时，做匀变速运动的距离为2L，设此时线框的速度为v₂，
根据匀变速直线运动规律可得：${v}_{2}^{2}$=4gL…⑥
从线框开始运动到刚好穿过第二个磁场，共下落了6L高度，
由能量守恒定律可得：6mgL=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$+Q…⑦
由⑥⑦式得：Q=4mgL
（3）线框进入每个磁场过程中，通过线框任一横截面的电荷量为：
q=$\overline{I•}△t=\frac{\overline{E}}{R}△t=\frac{△φ}{△t•R}△t=\frac{B{L}^{2}}{R}$…⑧
线框进入两个磁场的过程均做匀速运动，根据平衡可得：mg=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$…⑨
联立①⑥⑧⑨式可得：$\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}=\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\sqrt{\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}=\root{4}{2}$
答：（1 ）第一个磁场区域的磁感应强度B₁为$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{\sqrt{2gL}}}$
（2）线框从开始下落到刚好穿过第二磁场区域的过程中产生的总热量Q为4mgL；
（3 ）若线框进入第一个磁场过程中，通过线框任一横截面的电荷量为q₁，进入第二个磁场过程中，通过线框任一横截面的电荷量为q₂，q₁与q₂中之比为$\root{4}{2}$．

点评 本题考查电磁感应与能量结合的综合问题，关键在于正确分析运动过程和受力情况，再分析明确能量的转化方向，从而正确利用电磁感应规律以及功能关系进行分析求解即可．