Question

10．如图，质量为m的小球，在半径为R的质量为M光滑圆形管道内做圆周运动，圆形管道竖直地放置在地面上，不会倾倒．小球的半径略微比管道的内径小一点，且远小于R可视为质点．求：
（1）若小球恰好能够通过最高点，那当小球运动到最低点时对圆管的作用力；
（2）若小球以某一速度运动到最高点时，地面对圆管恰好无支持力，求小球运动到最低点时地面对圆管的作用力．

Answer 1

分析 （1）圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，根据动能定理求出最低点的速度，再根据向心力公式求解；
（2）地面对圆管恰好无支持力，则小球对圆管向上的压力等于圆管的重力，根据牛顿第三定律可知，圆管对小球的压力T₂=Mg，小球在最高点，根据向心力公式求出速度，从最高点到最低点的过程中，根据动能定理求出最低点速度，在最低点，根据向心力公式求出圆管对小球的作用力，根据牛顿第三定律可知，小球对圆管向下的压力，对圆管受力分析，根据平衡条件求出地面的支持力．

解答 解：（1）小球恰好能够通过最高点，则到达最高点的速度为零，从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•2R$
在最低点，根据向心力公式得：
T₁-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：T₁=5mg，
根据牛顿第三定律可知，小球对圆管的作用力大小为5mg，方向向上，
（2）若小球以某一速度运动到最高点时，地面对圆管恰好无支持力，则小球对圆管向上的压力等于圆管的重力，根据牛顿第三定律可知，圆管对小球的压力为：
T₂=Mg…①，
小球在最高点，根据向心力公式得：
${T}_{2}+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$…②
从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg•2R$…③，
在最低点，根据向心力公式得：
${T}_{3}-mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$…④
由①②③④解得：
T₃=6mg+Mg
根据牛顿第三定律可知，小球对圆管向下的压力为：T₄=T₃=6mg+Mg，
圆管处于静止状态，则地面对圆管的支持力为：F_N=T₄+Mg=6mg+2Mg，方向向上．
答：（1）若小球恰好能够通过最高点，那当小球运动到最低点时对圆管的作用力大小为5mg，方向向上；
（2）小球运动到最低点时地面对圆管的作用力大小为6mg+2Mg，方向向上．

点评 本题主要考查了动能定理、向心力公式以及牛顿第二定律的直接应用，解题时关键抓住小球恰好能够通过最高点，则到达最高点的速度为零以及地面对圆管恰好无支持力，则小球对圆管向上的压力等于圆管的重力求解，难度适中．