Question

10．物块A放在台秤上，通过跨过定滑轮的轻绳与物块B相连，B下端与一轻质弹簧粘连，弹簧的下端与地面接触（未栓接），整个系统处于静止状态，此时台秤示数为8.8N．已知m_A=2m_B=1kg，物块A、B间的水平距离s=20cm，倾斜绳与水平方向夹角θ₀=37°，物块A与台秤间动摩擦因素μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A、B和滑轮视为质点，不计滑轮质量和滑轮处摩擦，弹簧一直在弹性限度内，g取10m/s²．
（你可能用到的数学知识：sin37°=0.6，cos37°=0.8，cos²θ+sin²θ=1）
（1）求物块A受到的摩擦力和绳对物块A的拉力；
（2）沿竖直方向调整滑轮的高度至某一位置时，物块A刚好开始运动，且
此时弹簧刚好离开地面，求滑轮移动的距离和弹簧的劲度系数．

Answer 1

分析 （1）对物体A受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，根据平衡条件列式求解；
（2）弹簧刚好离开地面，则物体B受重力和拉力而平衡，根据平衡条件得到拉力大小；此时物体A刚好开始运动，受拉力、重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件列式求解得到对应的角度；然后结合几何关系得到滑轮移动的距离，根据胡克定律得到弹簧的劲度系数．

解答 解：（1）由台秤示数知物块此时所受支持力N=8.8N，物块受力示意图如下：

根据平衡条件，水平方向：$\left.\begin{array}{l}{{T}_{0}cos37°-{f}_{0}=0}\end{array}\right.$，
竖直方向：$\left.\begin{array}{l}{{N}_{0}+{T}_{0}sin37°-{m}_{A}g=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left.\begin{array}{l}{{T}_{0}=2N}\end{array}\right.$，$\left.\begin{array}{l}{{f}_{0}=1.6N}\end{array}\right.$；
（2）分析知，此时弹簧恢复原长，弹力为0．
对B受力分析，有：T₁-m_Bg=0
所以：T₁=5N；
设此时细线与水平方向夹角为θ，对A，水平方向：$\left.\begin{array}{l}{{T}_{1}cosθ-{f}_{m}=0}\end{array}\right.$，
竖直方向：$\left.\begin{array}{l}{{N}_{1}+{T}_{1}sinθ-{m}_{A}g=0}\end{array}\right.$，
其中：$\left.\begin{array}{l}{{f}_{m}=μ{N}_{1}}\end{array}\right.$，
得：sinθ+2cosθ=2
结合 cos²θ+sin²θ=1得：cosθ=0.6，sinθ=0.8；
滑轮上升的高度$△h=s•tanθ-s•tan{θ}_{0}=20×\frac{4}{3}-20×\frac{3}{4}=\frac{35}{3}cm$，
分析知，右端绳所短$△l=\frac{s}{cosθ}-\frac{s}{{cos{θ_0}}}=\frac{100}{3}-25=\frac{25}{3}cm$，
由几何关系知，弹簧伸长量△x=△h+△l=20cm；
由（1），对B受力分析，有T₀+F₀=m_Bg，
初始时刻弹簧处于压缩状态，弹力F₀=3N，
末状态弹簧恢复原长，弹力为0，
所以  $k=\frac{△F}{△x}=\frac{3N}{20cm}=15N/m$；
答：（1）物块A受到的摩擦力为1.6N，绳对物块A的拉力为2N；
（2）滑轮移动的距离为$\frac{25}{3}$cm，弹簧的劲度系数为15N/m．

点评 本题是力平衡问题，关键是灵活选择研究对象，明确物体的受力情况，根据平衡条件列式求解．
利用正交分解方法解体的一般步骤：
①明确研究对象；
②进行受力分析；
③建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上，将不在坐标轴上的力正交分解；
④x方向，y方向分别列平衡方程求解．