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    精英家教网 > 高中物理 > 题目详情
    如图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数k足够大的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T．使一质量为m、初速度为v0的小物块，在滑块上无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧．（弹簧弹性势能的表达式Ep=
    1
    2
    kx2，其中k为劲度系数，x为弹簧的压缩量）
    （1）给出细绳被拉断的条件．
    （2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为多少．
    （3）试证明：物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v0＞
    T
    		K(m-K)
    ，且m＞M．
    分析：（1）细绳恰好被拉断时，细绳的拉力恰好等于T，根据胡克定律求出弹簧的压缩量．在弹簧被压缩的过程中，物块的动能转化为弹簧的弹性势能，由机械能守恒求解细绳被拉断时物块的速度条件．
    （2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，物块做减速运动，长滑块做加速运动，当两者速度相同时，弹簧压缩时x最大，M获得的加速度最大，根据系统动量守恒和机械能守恒求出弹簧最大压缩量，再由牛顿第二定律求解M最大的加速度．
    （3）物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动，即相对地面的速度为零，根据系统动量守恒和机械能守恒列式，求出v0的条件．
    解答：解：（1）设细绳刚被拉断时弹簧的压缩量为x0，此时有 kx0=T
    为使弹簧压缩达到x0，对小物块要求是
    1
    2
    m
    v
    2
    0
    ＞
    1
    2
    k
    x
    2
    0

    由此得到，细绳被拉断的条件是：v0＞
    T
    		mk

    （2）绳断时，小物体速度为v1，则有
    1
    2
    m
    v
    2
    0
    =
    1
    2
    m
    v
    2
    1
    +
    1
    2
    k
    x
    2
    0
      
    又kx0=T
    解得v1=
    v
    2
    0
    -
    T2
    mk
      
    而后M在弹力作用下由静止开始加速，直至与m达到共同速度v2，此时弹簧压缩时x最大，则由动量守恒和机械能守恒得
        mv1=（M+mv2
    1
    2
    m
    v
    2
    0
    =
    1
    2
    (M+m)
    v
    2
    2
    +
    1
    2
    kx2
    此时M的加速度最大为 a=
    kx
    M

    联立解得a=
    1
    M
    m
    M+m
    (kM
    v
    2
    0
    +T2)
     
    （3）木板与小滑块通过弹簧作用完毕时，相对地面恰好不向右运动时，小滑块相对地面的速度应为0，设此时木板的速度为V1，并设小滑块压缩弹簧前的速度为v0′，绳断瞬间小滑块的速度为v1，则有     mv=MV1
    1
    2
    m(v0′)2    =
    1
    2
    M
    V
    2
    1

    由上解得小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件
    v0′=
    T
    		k(m-M)
    ，且m＞M
    所以物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v0＞
    T
    		K(m-K)
    ，且m＞M．
    答：（1）细绳被拉断的条件件是v0＞
    T
    		mk
    ．
    （2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为得a=
    1
    M
    m
    M+m
    (kM
    v
    2
    0
    +T2)
    ．
    （3）证明见上．
    点评：本题是系统动量守恒和机械能守恒的综合应用，要挖掘所隐含的临界条件：细绳被拉断刚好被拉断时，细绳的拉力达到最大．
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