Question

某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为：探测器在近火星表面轨道做圆周运动的周期是T；探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v₀的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变．已知万有引力常量为G，试求：
（1）火星的密度；
（2）火星的半径．

Answer 1

分析：（1）已知探测器在火星表面轨道做圆周运动的周期T根据万有引力提供向心力可以求出火星的质量，再根据密度定义可以求出火星的密度；
（2）根据竖直上抛工作可以求出火星表面的重力加速度，根据火星表面万有引力与重力相等求出火星的半径R．

解答：解：（1）设火星的半径为R，则火星的质量为M，探测器质量为m，探测器绕火星表面飞行时，有：
G

mM

R2

=mR

4π2

T2

     ①
可得火星的质量M=

4π2R3

GT2

    ②
则根据密度的定义有：ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

（2）探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有：
G

mM

R2

=mg′       ③
根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间t=

2v0

g′

得火星表面的重力加速度
g′=

2v0

t

              ④
将②、④代入③得：R=

v0T2

2π2t

答：（1）火星的密度ρ=

3π

GT2

；
（2）火星的半径R=

v0T2

2π2t

．

点评：围绕万有引力提供圆周运动的向心力和星球表面重力和万有引力相等求解即可．