Question

【题目】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

（2）小球到达A点时动量的大小；

（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力。

解析（1）设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有

①

②

设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得

③

由①②③式和题给数据得

④

⑤

（2）设小球到达A点的速度大小为，作，交PA于D点，由几何关系得

⑥

⑦

由动能定理有

⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为

⑨

（3）小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有

⑩

由⑤⑦⑩式和题给数据得

点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新。