Question

一质量为M的平顶小车，以速度V₀沿水平的光滑轨道作匀速直线运动．现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘．已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ．
（1）、若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？
（2）、若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？

Answer 1

（1）、物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落．令v表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即
Mv₀=（m+M）v                                   （1）
从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即

1

2

mv2=μmgs1                                     （2）
其中s₁为物块移动的距离．小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即
 

1

2

Mv2-

1

2

mv02=-μmgs2                           （3）
其中s₂为小车移动的距离．用l表示车顶的最小长度，则
l=s₂-s₁                                             （4）
由以上四式，可解得  
l=

Mv02

2μg(m+M)

                                      （5）
即车顶的长度至少应为l=

Mv02

2μg(m+M)

．
（2）、由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动能的增量，即
W=

1

2

(M+m)v2-

1

2

Mv02                             （6）
由（1）、（6）式可得
W=-

mMv02

2(m+M)

                                       
故整个过程中摩擦力做的功为-

mMv02

2(m+M)