Question

7．如图所示，一质量为m的小物体（可视为质点）以某一速度v₀滑上一水平轨道ABCD，AB段光滑，BC为水平传送带，CD为足够长粗糙平面，三段轨道无缝连接．传送带BC段长度L=10m，以v=3m/s的速度向右匀速运动，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，物体与粗糙平面CD之间动摩擦因数为μ=0.3，g取10m/s²．求：

（1）当v₀=2m/s时，物体在CD上滑行的距离；
（2）当v₀=5m/s时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕长度；
（3）速度v₀在何范围内时，物体离开传送带后能到达同一位置．

Answer 1

分析 分别根据牛顿运动定律求出BC和CD的加速度；
（1）根据匀变速直线运动的规律求解匀加速的位移，从而知在CD的初速度，再根据速度位移关系知CD上距离．
（2）根据速度时间关系求共速的时间，根据时间求位移，从而知位移之差；
（3）物体离开传送带后能到达同一位置，则说明末速度一样都为3m/s，根据速度位移关系求解初速度的范围．

解答 解：根据牛顿运动定律：BC加速度大小a₁=$\frac{{μ}_{BC}mg}{m}$=2m/s²
CD段加速度大小a₂=μ_CDg=3m/s²
（1）当v₀=2m/s时，与传送带速度相同运动的位移x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{2}^{2}}{2×2}$m=1.25m＜L=10m，故滑上CD初速度为3m/s
在CD上滑行距离x′=$\frac{0-{v}^{2}}{-2{a}_{2}}$=$\frac{0-{3}^{2}}{-2×3}$=1.5m
（2）当v₀=5m/s时，物体通过传送带后，当v₀=2m/s时，与传送带速度相同运动的位移x₂=-$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{5}^{2}}{-2×2}$=4m＜10m，
故滑上CD初速度为3m/s，减速运动时间为t₂=$\frac{v-{v}_{0}}{-{a}_{1}}$=$\frac{3-5}{-2}$=1s，
此时传送运动位移为s=vt₂=3m，故△l=x₂-s=4-3=1m
（3）物体离开传送带后能到达同一位置，则说明末速度一样都为3m/s，设初速度为v₀，位移为L=10m
若v₀＞3m/s则做匀减速运动，v${\;}^{2}-{v}_{0}^{2}$=-2a₁L
解得初速度最大值v₀=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{1}L}$=$\sqrt{{3}^{2}+2×2×10}$m/s=7m/s
若v₀＜3m/s则做匀加速运动，由（1）分析知初速度最小为0
初速度的范围为0-7m/s，物体离开传送带后能到达同一位置．
答：（1）当v₀=2m/s时，物体在CD上滑行的距离为1.5m；
（2）当v₀=5m/s时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕长度为1m；
（3）初速度的范围为0-7m/s，物体离开传送带后能到达同一位置．

点评 此题考查传送带相关的问题，注意分析受力，明确运动过程，熟练应用匀变速直线运动的规律解题．