Question

（2010?泰安二模）如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆弧形轨道MNP，其半径R=0.8m，OM为水平半径，ON为竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R，∠PON=45°第一次用质量m₁=1.1kg的物块（可视为质点）将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块停在B点（B点为弹簧原长位置），第二次用同种材料、质量为m₂=0.1kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为x=6t-2t²（m），物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．（g=10m/s²，不计空气阻力）求：
（1）BC间的距离；
（2）m₂由B运动到D所用时间；
（3）物块m₂运动到M点时，m₂对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）物块离开B点时的运动关系，可知物体运动的初速度和加速度，通过牛顿第二定律可求出摩擦因数，在BC段时，由动能定理可求出BC的长度．
（2）知道从D到P下降的高度，可知在竖直方向的速度，因为物体从P点进入圆弧轨道，在P点时tan 45°=

vy

vD

，可知 从D点抛出时的速度，利用运动学公式可求出在BD运动的时间．
（3）物块从P点到M点，由机械能守恒可求出M点的速度，由支持力提供向心力可求得支持力．

解答：解：（1）由x=6t-2t²知
v_B=6 m/s　a=-4 m/s² 
m₂在BD上运动时-m₂gμ=m₂a
解得μ=0.4 
设弹簧长为AC时，弹簧的弹性势能为E_p
m₁释放时E_p=μm₁gs_BC 
m₂释放时E_p=μm₂gs_BC+

1

2

m₂v_B²  
解得s_BC=0.5 m
（2）设m₂由D点抛出时速度为v_D，落到P点的竖直速度为v_y
在竖直方向v_y²=2gR，解得v_y=

2gR

=4 m/s 
在P点时tan 45°=

vy

vD

 
解得v_D=4 m/s 
m₂由B到D所用的时间t=

vD-vB

a

=0.5 s 
（3）m₂由P运动到M的过程，由机械能守恒定律得
m₂v_P²+m₂g（R-Rcos 45°）=

1

2

m₂v_M²+m₂gR 
在M点时，对m₂受力分析，由牛顿第二定律得
F_N=m

vM2

R

解得F_N=（4-

2

） N
由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为（4-

2

） N
答：（1）BC间的距离0.5 m；
（2）m₂由B运动到D所用时间0.5 s；
（3）物块m₂运动到M点时，m₂对轨道的压力为（4-

2

） N．

点评：该题是平抛运动、圆周运动的综合题，该题中要熟练掌握机械能守恒定律，能量守恒定律，以及圆周运动的临界问题．