Question

（2006?福建模拟）微观粒子之间的相互作用都是通过交换某种粒子（如光子、中间玻色子、胶子）来实现的．粒子间的排斥作用可以简化为如下的一个力学模型来描述：
水平冰面上两个质量均为m的滑冰者A和B，分别以大小为υ_A和υ_B的水平速度相向运动（如图甲）．当它们趋近到一定距离时，为避免相撞，A立即沿水平方向向B扔出一个动量大小为p（相对地面，下同）、质量可以忽略的小球，小球在B手中停留一段时间T后又以大小相同的动量p水平扔回A手中，A又经相同时间T再次以同样大小的动量水平扔给B，并不断重复上述过程，直至两个滑冰者避免了相撞．设水平冰面摩擦不计，除小球在A、B手中停留的时间T外，不计空中飞行的时间，以水平向右为正方向．求：
（1）滑冰者B第一次把球接到手中时A、B的速度；
（2）从A开始扔球算起，球在A、B之间至少被扔出几次才可以避免两个滑冰者相撞？
（3）设m=60kg，υ_A=2m/s，υ_B=1m/s，p=30kg?m/s，T=1s，t=0时A刚好扔出小球，试在图乙给出的同一个υ-t坐标图上，画出问（2）过程中A、B两个滑冰者的速度随时间变化的υ-t图线（不要求写出计算过程，只按画出的图线评分，但图线上必须注明A和B）

Answer 1

分析：（1）第一次A扔球，A与球的动量守恒，B接球过程，B与球的动量守恒，根据动量守恒定律列式求解；
（2）同理可得，第二次B扔球、A接球后两球的速度，总结规律得到n次扔球、接球后两球的速度υ_An和υ_Bn．要使A、B不相撞且扔球次数最少，应满足υ_An=υ_Bn，即可得到满足A、B不相撞所需的最少扔球的次数．
（3）分段作两个滑冰者的速度随时间变化的υ-t图线．

解答：解：（1）取水平向右为正方向，第一次A扔球、B接球，设A扔球后速度为，B接球后速度为，由动量守恒定律有
：A扔球过程，有：mυ_A=mυ_A1+p               
解得：υ_A1=υ_A-

p

m

B接球过程，有：-mυ_B+p=mυ_B1
解得：υ_B1=-υ_B+

p

m

（2）第二次B扔球、A接球，设B扔球后速度为υ_B2，A接球后速度为υ_A2，则由动量守恒定律：
mυ_B1=mυ_B2-p
解得：υ_B2=υ_B1+

p

m

=-υ_B+

2p

m

mυ_A1-p=mυ_A2
解得：υ_A2=υ_A1-

p

m

=υ_A-

2p

m

设n次扔球、接球后．A的速度为υ_An，B的速度为υ_Bn，则由上述推理可得：
υ_An=υ_A-

np

m

          
υ_Bn=-υ_B+

nP

m

要使A、B不相撞且扔球次数最少，应满足：υ_An=υ_Bn
因此，满足A、B不相撞所需的最少扔球次数为：n=

m(vA+vB)

2p

讨论：
①当

m(vA+vB)

2p

为整数时，n取

m(vA+vB)

2p

；
②当

m(vA+vB)

2p

不为整数时，取

m(vA+vB)

2p

+1
（3）如图所示

答：（1）滑冰者B第一次把球接到手中时A、B的速度分别为υ_A-

p

m

和-υ_B+

p

m

；
（2）从A开始扔球算起，球在A、B之间至少被扔出

m(vA+vB)

2p

或

m(vA+vB)

2p

+1次才可以避免两个滑冰者相撞．
（3）A、B两个滑冰者的速度随时间变化的υ-t图线如图所示．

点评：解决本题的关键掌握动量守恒定律的条件，合理选择研究的过程，采用归纳法运用动量守恒定律进行求解．