Question

15．导体切割磁感线的运动可以从不同角度来认识．如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路．已知磁场的磁感应强度为B，导线的长度恰好等于平行轨道的间距L．
（1）通过法拉第电磁感应定律推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E=BLv．
（2）从微观角度看，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用．为了方便，可认为导线MN中的自由电荷为正电荷．
a．电动势在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功．如果移送电荷q时非静电力所做的功为W，那么电动势E=$\frac{W}{q}$．请据此推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E=BLv．
b．导体切割磁感线时，产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的．但我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功．那么，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请通过计算分析说明．

Answer 1

分析 （1）导线做匀速直线运动，应用位移公式求出其位移，然后应用法拉第电磁感应定律求出感应电动势的表达式．
（2）a、应用洛伦兹力公式与功的计算公式求出非静电力做功，然后根据电动势的定义式求出电动势的表达式．
b、将电荷所受洛伦兹力分解为沿导线方向与垂直于导线方向的两个分析，分析各分力的做功情况，然后分析得出结论．

解答 解：（1）导线做匀速直线运动，在△t时间内，导线MN的位移为：x=v•△t，
线框的面积变化量是：△S=Lx=Lv•△t，
则穿过闭合电路的磁通量的变化量是：△Φ=B•△S=BLv•△t
根据法拉第电磁感应定律得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLv△t}{△t}$=BLv，
由此得证：导线MN切割磁感线产生的电动势为：E=BLv；
（2）a、导线MN切割磁感线时相当于电源，由右手定则可以判断M为正极，N为负极，
所以自由电荷沿导体棒由N向M定向移动，自由电荷实际的速度方向和所受洛伦兹力的方向如图1所示．
将f沿导线方向和垂直导线方向分解为f₁和f₂，其中f₁为非静电力，如图2所示．
设自由电荷的电荷量为q，则f₁=qvB，自由电荷在从N移动到M，
f₁做的功W=f₁L=qvBL，所以导线MN切割磁感线产生的电动势为：E=$\frac{W}{q}$=$\frac{qvBL}{q}$BLv；
b、设自由电荷沿导线MN定向移动的速率为u．在△t时间内，自由电荷沿导线MN定向移动的距离为：x₁=u•△t，
垂直导线方向移动的距离x₂=v•△t．所以在这段时间内：f₁做正功，有：W₁=f₁x₁=qvBu•△t；
f₂做负功，W₂=f₂x₂=-quBv•△t．因此W₁=-W₂，即导线MN中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零．
f₁做正功，宏观上表现为“电动势”，使电路获得电能；f₂做负功，宏观上表现为安培力做负功，阻碍导线MN运动，消耗机械能．
大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用． 
答：（1）证明过程如上所述；（2）a、推导过程如上所述；b、大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用．

点评 导体棒切割磁感线产生感应电动势，从宏观与微观角度进行分析其实质可以增进学生对动生电动势的理解，理解并灵活应用法拉第电磁感应定律是解题的前提与关键；解题过程要注意力的合成与分解的应用．