Question

10．如图（甲）所示，M₁M₄、N₁N₄为平行放置的水平金属轨道，M₄P、N₄Q为相同半径，平行放置的竖直四分之一圆形金属轨道，M₄、N₄为切点，P、Q为四分之一圆轨道的最高点（与圆心等高），轨道间距L=1.0m，圆轨道半径r=0.5m，整个装置左端接有阻值R=0.5Ω的定值电阻．M₁M₂N₂N₁、M₃M₄N₄N₃为等大的长方形区域Ⅰ、Ⅱ，两区域宽度d=0.5m，两区域之间的距离s=1.0m；区域Ⅰ内分布着均匀的变化的磁场B₁，B₁变化规律如图（乙）所示，规定竖直向上为B₁的正方向；区域Ⅱ内分布着匀强磁场B₂=0.05T，方向竖直向上．两磁场间的轨道与导体棒CD间的动摩擦因数为μ=0.2，M₃N₃右侧的直轨道及半圆形轨道均光滑．质量m=0.1kg，电阻R₀=0.5Ω的导体棒CD在垂直于棒的水平恒力F=1.0N拉动下，从M₂N₂处由静止开始运动，到达M₃N₃处撤去恒力F，CD棒穿过匀强磁场区后，恰好通过圆形轨道到达PQ处．若轨道电阻、空气阻力不计，运动过程导棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，g取10m/s²　求：

（1）CD棒从M₂N₂处运动到M₃N₃处所需要的时间；
（2）CD棒刚进入B₂磁场时的加速度大小；
（3）CD棒在直轨道上向右运动过程中电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律先求出CD的加速度，然后由运动学的公式即可求出运动的时间；
（2）由法拉第电磁感应定律求出电路中的感应电动势，然后由欧姆定律、安培力的公式以及牛顿第二定律即可求出加速度；
（3）由焦耳定律求出开始时R上产生的热量，由功能关系求出CD棒在M₃N₃右侧运动的过程中R上产生的热量；然后求和即可．

解答 解：（1）选取向右为正方向，由牛顿第二定律可得：
${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{1.0-0.2×0.1×10}{0.1}=8$m/s²
由公式：s=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{\;}^{2}$得：
$t=\sqrt{\frac{2s}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2×1}{8}}=0.5$s
（2）CD棒刚进入B₂磁场时的速度为：
v=a₁t=8×0.5=4m/s
在CD上产生的电动势为：
E₁=B₂Lv=0.05×1.0×4=0.2V
由右手定则可知，感应电流的方向为D流向C，此时B₁仍然在变化，产生的电动势为：
${E}_{2}=\frac{△B}{△t}•Ld$=$\frac{0.4-0.2}{0.5}×1.0×0.5=0.2$V；电动势的方向为M₁流向N₁；
可知在同一个电路中二者的方向相同，所以电路中的总电动势为：
E=E₁+E₂=0.2+0.2=0.4V
所以电路中的感应电流：$I=\frac{E}{R+{R}_{0}}=\frac{0.4}{0.5+0.5}=0.4$A
根据左手定则可知，CD受到的安培力的方向向左，对CD棒，由牛顿第二定律可得：
-μmg-B₂IL=ma₂
代入数据得：${a}_{2}=-4m/{s}^{2}$负号表示方向向左
（3）当CD在M₂N₂到M₃N₃之间运动时，B₁在变化，产生的电动势为0.2V，此过程中R上产生的热量为：
${Q}_{1}=（\frac{{E}_{2}}{R+{R}_{0}}）^{2}R$=$（\frac{0.2}{0.5+0.5}）^{2}×0.5$=0.02J
当CD在M₃N₃右侧运动的过程中，CD的动能转化为重力势能和焦耳热，即为：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgr+{Q}_{2}$
代入数据得：Q₂=0.3J
所以CD棒在直轨道上向右运动过程中电阻R上产生的热量为：
Q=Q₁+Q₂=0.02+0.3=0.32J
答：（1）CD棒从M₂N₂处运动到M₃N₃处所需要的时间是0.5s；
（2）CD棒刚进入B₂磁场时的加速度大小是4m/s²；
（3）CD棒在直轨道上向右运动过程中电阻R上产生的热量是0.32J．

点评 理解牛顿第二定律、动能定理、法拉第电磁感应定律与焦耳定律，对于动能定理中要注意过程中功的正负，同时当心产生的焦耳热与电阻R上产生的热量区别．