Question

11．如图所示，一个可视为质点的质量m=1kg的木块从P点以初速度v₀=5m/s向右运动，木块与水平面间的动摩擦因数μ=0.4，木块运动到M点后水平抛出，恰好沿竖直的粗糙圆弧AB的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力）．已知圆弧的半径R=0.5m，半径OA与竖直半径OB间的夹角θ=53°，木块到达A点时的速度v_A=5m/s，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s²．
（1）求P到M的距离l．
（2）求M、A间的距离s．
（3）若木块到达圆弧底端B点时速度大小为v_B=5m/s，求此时木块对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）由木块运动到M点后水平抛出，恰好沿竖直的粗糙圆弧AB的A点的切线方向进入圆弧可以得到平抛的初速度，即在M点的速度，由运动可求l．
（2）根据平抛运动规律可求得水平和竖直方向上的位移，则可求得总距离；
（3）对B点分析由牛顿第二定律可得木块对轨道的压力．

解答 解：
（1）由木块运动到M点后水平抛出，恰好沿竖直的粗糙圆弧AB的A点的切线方向进入圆弧可得，M点的速度为：
v₁=v_Acosθ=3m/s，
P到M由牛顿第二定律：
ma=-μmg，
解得：
a=0.4×10=4m/s²，
由运动学：
$l=\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{{3}^{2}-{5}^{2}}{-2×4}=2m$．
（2）由平抛运动规律可知，物体到达A点时竖直方向上的速度v_y=vsinθ=5×0.8=4m/s；
则下落时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{4}{10}$=0.4s；
则水平位移x=v1t=3×0.4=1.2m；
竖直方向上的距离h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{16}{20}$=0.8m；
则由几何关系可知，MA间的距离s=$\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{0．{8}^{2}+1．{2}^{2}}$=1.44m；
（3）由牛顿第二定律：
$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{r}$，
解得：
$N=mg+m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{r}=1×10+1×\frac{{5}^{2}}{0.5}=60N$．
根据牛顿第三定律可知，此时木块对轨道的压力为60N．
答：（1）求P到M的距离l=2m．
（2）M、A间的距离s为1.44m；
（3）若木块到达圆弧底端B点时速度大小v_B=5m/s，此时木块对轨道的压力为60N．

点评 本题考查动能定理、平抛运动及向心力公式；该题关键点是以木块切入A点的速度方向来解决平抛初速度的问题，解决这个问题，整个题目就打开思路．