Question

1．如图所示，在光滑的水平金属轨道 ABCD-EFGH 内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B，AB与 EF 宽为 L，是 CD 与GH 宽的2倍，静止的金属棒a、b质量均为 m．若给棒a初速度v₀向右运动，假设轨道足够长，棒a只在轨道 AB 与 EF 上运动．
求：（1）金属棒a、b的最终速度．
（2）整个过程通过金属棒a的电量．

Answer 1

分析 （1）根据平衡状态得到两者最终速度关系；由a、b的受力关系得到加速度关系，进而得到速度变化量的关系，带入初始速度，联立前面的速度关系即可得到速度大小；
（2）对a的任一极短时间段运用动量定理，叠加后，即可得到电量的表达式．

解答 解：金属轨道光滑，所以，在运动过程a、b不受摩擦力，则在水平方向只有安培力．
（1）给棒a初速度v₀向右运动，则a的电流指向外，b的电流指向里，那么，a所受安培力指向左，b所受安培力指向右；
所以，棒a向右做减速运动，棒b向右做加速运动，两者产生的感应电动势方向相反．当两者产生的感应电动势大小相等，电流为零，达到稳定平衡状态．
AB与 EF 宽为 L，是 CD 与GH 宽的2倍，所以，CD 与GH 宽为$\frac{1}{2}L$．
a的电动势E_a=BLv_a，b的电动势${E}_{b}=\frac{1}{2}BL{v}_{b}$，
因为E_a=E_b，所以，${v}_{a}=\frac{1}{2}{v}_{b}$…①．
若设闭合电路电流为I，则有任意时刻，a所受安培力F_a=BIL，b所受安培力${F}_{b}=\frac{1}{2}BIL$；
所以，F_a=2F_b
因为金属棒a、b质量均为 m，所以，加速度有：a_a=2a_b，
速度的变化量有：△v_a=2△v_b，即v₀-v_a=2v_b…②．
联立①②式可得：${v}_{a}=\frac{1}{5}{v}_{0}，\;{v}_{b}=\frac{2}{5}{v}_{0}$．
（2）对金属棒任一极短时间△t应用动量定理，可得：-BIL•△t=m△v，即-BL•△q=m•△v…③；
因为在任一极短时间式③都成立，那么，在整个过程式③也成立，则有
$-BLq=m{v}_{a}-m{v}_{0}=-\frac{4}{5}m{v}_{0}$
$q=\frac{4m{v}_{0}}{5BL}$．
答：（1）金属棒a、b的最终速度${v}_{a}=\frac{1}{5}{v}_{0}，\;{v}_{b}=\frac{2}{5}{v}_{0}$；
（2）整个过程通过金属棒a的电量$q=\frac{4m{v}_{0}}{5BL}$．

点评 运用动量定理要注意，在所运用的时间间隔内，力应该不变；若力改变，则应该可求出这段时间的平均作用力，如线性变化的作用力这类可求出平均值的力．