Question

14．如图所示，长L的轻杆两端分别固定有质量均为m的A、B两小铁球，杆的三等分点O处有光滑的水平固定转轴，使轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动．用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放．重力加速度为g．求（结论可以用根号表示）：
（1）当杆到达竖直位置时，小球A、B的速度v_A、v_B各多大？
（2）从释放轻杆到轻杆竖直时，该过程轻杆对小球A做的功．

Answer 1

分析 （1）对整个系统而言，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒．由系统的机械能守恒和速度关系求出杆到达竖直位置时两球的角速度，根据v=ωr求得AB的速度．
（2）根据动能定理求得杆对A做功

解答 解：（1）设竖直位置时，杆子的角速度为ω．
对整个系统而言，机械能守恒，有 mg（$\frac{2}{3}$L-$\frac{1}{3}$L）=$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{3}$Lω）²+$\frac{1}{2}$m（$\frac{2}{3}$Lω）²；
解得ω=$\sqrt{\frac{6g}{5L}}$，故A的速度${v}_{A}=ω•\frac{2}{3}L=\sqrt{\frac{8gL}{15}}$，B的速度${v}_{B}=ω•\frac{1}{3}L=\sqrt{\frac{2gL}{15}}$
（2）对A球根据动能定理可知$mg•\frac{2}{3}L+W=\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$，解得$W=-\frac{2mgL}{5}$
答：（1）当杆到达竖直位置时，小球A、B的速度v_A、v_B各为$\sqrt{\frac{8gL}{15}}$和$\sqrt{\frac{2gL}{15}}$
（2）从释放轻杆到轻杆竖直时，该过程轻杆对小球A做的功为$-\frac{2mgL}{5}$

点评 本题关键是AB球机械能均不守恒，但A与B系统机械能守恒由于AB转动的角速度相同，即可求得．