Question

6．两颗半径之比为2：1，密度之比为1：4的行星A、B，在这两颗行星表面附近各有一颗卫星，两颗行星视为均匀的球体．下列说法正确的是（　　）

• A． 两颗卫星的周期之比为1：2
• B． 两颗卫星的角速度之比为1：2
• C． 两颗卫星的线速度之比为1：1
• D． 两颗卫星受到的万有引力之比一定为1：2

Answer 1

分析 研究卫星绕行星匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求解．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．

解答 解：行星的体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，体积之比为8：1，根据M=ρV得行星的质量之比2：1
ABC、卫星在行星表面运行，轨道半径等于行星半径，根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=m{ω}_{\;}^{2}R=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得卫星的周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$，与卫星的质量无关，故两颗卫星的周期之比为$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{8}{1}×\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}$，故A错误；
卫星的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{\;}^{3}}}$，与卫星的质量无关，故两颗卫星的角速度之比为$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{2}{1}×\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，故B正确；
卫星的线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，与卫星的质量无关，故两颗卫星的线速度之比为$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{2}{1}×\frac{1}{2}}=\frac{1}{1}$，故C正确；
D、两颗卫星的质量未知，所以万有引力无法比较，故D错误；
故选：BC

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用