高考数学二诊文科试题参考答案

文科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．

CDACB　　　　　　 ACBDA　　　　　　　 BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．　　　　　　　　 14．b≤且 b≠0　　　　　　　 15．　　　　　　　 16．t = 4

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．由　知B为锐角，得 ，，

所以 ，得 A + B = 45°，

因此∠C = 135°，表明c边最长．　　　　　　　　　　　　 ……………………… 5分

∵ tanA＞tanB，且正切函数在(0°，90°)内单调增加，

∴ A＞B，于是b边最短，即 b = 1．

∵ ，

∴ 由正弦定理　得 ，

故最长边的值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………12分

18．设不等式︱2x－4︱＜5－x，，2x² + mx－1＜0的解集分别为A，B，C．

则由︱2x－4︱＜5－x得，当x≥2时，不等式化为 2x－4＜5－x，得 x＜3，所以有2≤x＜3；当x＜2时，不等式化为 4－2x＜5－x，得 x＞－1，所以有－1＜x＜2，故A =(－1，3)．　　　　　　　　　　　　 …………… 3分

　Û 　Û 　Û

Û　 0≤x＜1 或 2＜x≤4， 即 B = [ 0，1∪(2，4．

…………… 6分

若同时满足①②的x值也满足③，则有A∩BÍC．

设 f(x)= 2x² + mx－1，则由于A∩B = [ 0，1∪(2，3)，

故结合二次函数的图象，得 ．

…………… 12分

19．设开办初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元．

根据题意，有 x≥0，y≥0，且x、y∈Z；　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

20≤x + y≤30；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

25x + 50y + 2.5×3.2x + 4.0×4.0y ≤1320，

即 x + 2y≤40．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

目标函数为 z = 0.7×40 x + 0.8×45 y = 28 x + 36 y，可行域如图：

…………… 6分

把z = 28 x + 36 y变形为，

得到斜率为，在y轴上的截距为，随z

变化的一簇平行直线．由图象可以看到，当直

线z = 28 x + 36 y经过可行域上的点A时，z最大．

解方程组 　得x = 20，y = 10，

即点A的坐标为(20，10)，所以 z_max = 28×20 + 36×10 = 920．

由此可知，开办20个初中班和10个高中班，收取的学费总额最多，为920万元．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 12分

20．(Ⅰ)若q = 1，则 S₁ = a₁，S₃ = 3a₁，S₅ = 5a₁，S₇ = 7a₁，于是 　与已知矛盾，表明 q≠1．因此根据 　和已知，得　 ，

∴　 1－q－(1－q⁵)= 4(1－q³)－4(1－q⁷)，

即　 q⁴－1 = 4q²(q⁴－1)，

解得 (舍去)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 6分

(Ⅱ) ∵ ， ∴ ，

于是 ，

∴　 ，

两式相减，得 ，

∴ ．　　　 …………… 12分

21．(Ⅰ)设 y = f(x)= x³－3ax²－24a²x + b，

则　 f ′(x)= 3x²－6ax－24a²，

∴　 f ′(x)= 3(x－4a)(x + 2a)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 3分

由　 f ′(x)= 0，得 x = 4a，－2a．不难验证，a = 0不满足题意，因而 f(x)的极值为：

f(－2a)= 28a³ + b，

f(4a)=－80a³ + b．

根据题意，得　 f(－2a)－f(4a)= 108a³ = ± 4，

因为a为实数，于是解得 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 6分

(Ⅱ)因为函数y = f(x)存在正的极大值，负的极小值，故

(ⅰ)当＞0时，由下表：

x	…	－2a	…	4a	…
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		极大		极小

得　 f(－2a)＞0，f(4a)＜0，

∴　 28a³ + b＞0，－80a³ + b＜0，

即　 －28a³＜b＜80a³， 解得 ．　　　　　　　　　　　 …………… 9分

(ⅱ)当＜0时，由下表：

x	…	4a	…	－2a	…
f ′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		极大		极小

得　　 f(4a)＞0，f(－2a)＜0，

∴　 －80a³ + b＞0，28a³ + b＜0，

即　 80a³＜b＜－28a³， 解得 ．　　　　　　　　　 …………… 12分

22．设直线FA的斜率为k，其方程为y = kx + 1． 　①

因为点A(x，y)同时满足式①和圆，所以把式①代入圆的方程中，得 (x－3)² +(kx + 1)² = 1，

即 (1 + k²)x²－(6－2k)x + 9 = 0．

其根的判别式 △ =(6－2k)²－4 . 9 .(1 + k²)≥0，

解得 ．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　 ……… 4分

设 、，把式①代入抛物线方程中，得

，即 x²－4kx－4 = 0．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　③

显然△ =(4k)²－4×1×(－4)= 16(k² + 1)＞0，x_B，x_C是方程③的两个实数根，

有 x_B + x_C = 4k，x_B . x_C =－4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　 ……… 8分

于是切线CP、BP的方程为

，　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　⑤

，　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　⑥

由⑤－⑥得 ，

∴ ，

=．

于是CP与BP的交点为P(2k，－1)，即点P的轨迹为一条水平线段，其轨迹方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 14分