1.(北京卷)已知是上的减函数,那么的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
2.(福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,设则
(A) (B) (C) (D)
3.(广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B.
C. D.
4.(辽宁卷)设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A) f(x) f(-x)是奇函数 (B) f(x) |f(-x)|是奇函数
(C) f(x)- f(-x)是偶函数 (D) f(x)+ f(-x)是偶函数
5.(全国II)函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点对称,则f(x)的表达式为
(A)f(x)=(x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0)
(C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0)
6.(全国II)如果函数y=f(x)的图像与函数的图像关于坐标原点对称,则y=f(x)的表达式为
(A)y=2x-3 (B)y=2x+3 (C)y=-2x+3 (D)y=-2x-3
7.(山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
8.(天津文10) 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是 ( )
(A); (B);
(C); (D)
9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )
A. B. C. D.
10.直线沿轴正方向平移个单位,再沿轴负方向平移-1个单位得直线,若直线与重合,则直线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。
12.(天津文9)若函数在区间内恒有,则的单调递增区间为
例1.(05浙江文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数的取值范围。
解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),
则即∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1, ]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
② 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.
(i) 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.
(ii) 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0
例2.(江苏卷)已知函数 (Ⅰ)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)当a=2时,,则方程f(x)=x即为
解方程得:
(2)(I)当a>0时,,作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点借助于图像可知,当时,函数f (x)在区间[1,2]上为增函数,此时
当时,显然此时函数的最小值为
当时,,此时f(x)在区间为增函数,在区间上为减函数,
∴,又可得 ∴
则当时,,此时
当时,,此时
当时,,此时f(x)在区间[1,2]为增函数,故
(II)当时,,此时f(x)在区间[1,2]也为增函数,故
(III)当时,其草图见右 显然函数f(x)在区间[1,2]为增函数,故
例3.(湖南卷)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解:(I),则
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0.
综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(II)证法一 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即,
则
=
所以 设则①
令则
因为时,,所以在)上单调递增. 故
则. 这与①矛盾,假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二:同证法一得 因为,所以
令,得 ②
令
因为,所以时,
故在[1,+上单调递增.从而,即
于是在[1,+上单调递增.
故即这与②矛盾,假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
例4. 已知函数y=f (x)是定义在上的周期函数,周期T=5,函数是奇函数又知y=f (x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值.
①证明:;②求的解析式;③求在[4,9]上的解析式.
解:∵f (x)是以为周期的周期函数,∴,
又∵是奇函数,∴,∴
②当时,由题意可设,
由得,∴,
∴
③∵是奇函数,∴,
又知y=f (x)在[0,1]上是一次函数,∴可设,而,
∴,∴当时,f (x)=-3x,
从而当时,,故时,f (x)= -3x,.
∴当时,有,∴0.
当时,,∴
∴
例5:已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. ……
证明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). ∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0,
即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
例6.(湖南卷)设,点P(t,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
解:(I)因为函数f (x),g(x)的图象都过点((t,0),所以,
即.因为所以.
又因为f (x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以
而
将代入上式得 因此故,,
(II)解法一.
当时,函数y= f (x)-g(x)单调递减.
由,若;若
由题意,函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,
则所以
又当时,函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减.
所以的取值范围为
解法二:
因为函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,且是(-1,3)上的抛物线,
所以 即 所以的取值范围为
1.. (北京卷)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意,恒成立”的只有
(A) (B) (C) (D)
解:|>1<1\ |<|x1-x2|故选A
2.(全国卷I)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则
A. B.
C. D.
解:函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线对称,所以f(x)是的反函数,即=,∴ ,选D.
3.(全国卷I)已知函数,若为奇函数,则________。
解析:函数若为奇函数,则,即,a=.
4.(福建卷理12)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2; B.3; C.4; D.5 ( D )
5.(天津理10)若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是(A) (B) (C) (D) ( B )
6.(山东卷理4)下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( D )
(A) (B)
(C) (D)
7.(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第12题]
设函数为奇函数,则( )
A.0 B.1 C. D.5
8.已知f(x)是R上的偶函数,对都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若f(1)=2,则f(2005)=( )
A、2005 B、2 C、1 D、0
9.方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点,若函数有唯一不动点,且,,则 。
11.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;
点拨与提示:根据f(a+b)=f(a).f(b)是恒等式的特点,对a、b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式,是处理抽象函数不等式的典型方法.
12.设a为实数,设函数的最大值为g(a)。
(Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(Ⅱ)求g(a)
解:本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
(Ⅰ)令
要使有t意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1,
∴t≥0 ①
t的取值范围是由①得
∴m(t)=a()+t=
(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴,分以下几种情况讨论。
(1)当a>0时,函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段,
由<0知m(t)在上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时,m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段,
若,即则
若,即则
若,即则
综上有