1．设全集U=R，已知集合，集合ZZ，则(B)

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　　 C．{0，1，3}　　　　　 D．

　　　 提示：由，，求得正确选项为B．

2．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，现加上一个力后恰使得物体保持平衡，则(B)

　　　 A．7　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．－1　　　　　　　　　　　　 D．

　　　 提示：要求四个力的和为零向量，∴(1，2)，故，选B．

3．设复数的共轭复数用表示，已知复数在映射f下的象为，且在下存在原象，则它的原象为( A　 )

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

　　　 提示：令，则，∴，故原象为，故选A．

4．如果一个点既在一个指数函数的图象上又在一个对数函数的图象上，那么就称这个点为“优质点”．在下面五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G(2，)中，“优质点”的个数为(B)

　　　 A．1个　　　　　　　　　　　 B．2个　　 　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　　 D．4个

　　　 提示：若为对数函数图象上的点，则当时，，∴M、N两点不符合条件，若为指数函数图象上的点，则当时才有，∴P点不符合条件，反之在找到指数函数，使和成立的同时可以找到对数函数，使和成立，故选B．

5．用一个平面去切一个正四面体，使之得到形状大小都相同的两个几何体，则这样的平面共有(D)

　　　 A．3个　　　　　　　　　　　 B．6个　　　　　　　　　　　 C．12个　　　　　　　　　　　 D．无数个

　　　 提示：过其中一组对棱的两个中点，且与另一组对棱相交的平面都满足条件，选D．

6．已知，则圆锥曲线的一条准线方程是(C)

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

　　　 提示：由已知得，∴，∴圆锥曲线的标准方程为，其渐近线方程为，故选C．

7．如果数列满足，则( A　 )

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．0

　　　 提示：依题意有，∴，即数列是等差数列，公差为，首项为，∴，∴，∴，故选A．

8．已知函数的反函数是，且，则的最小值是(D)

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

　　　 提示：由已知，∴，即，即，且都为正数，∴，故选D．

9．曲线上的点到直线的最短距离是(A)

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．0

　　　 提示：令，则，∴曲线上过点(1，0)的切线与直线平行，从而最短距离即为点(1，0)到直线的距离，由距离公式得，选A．

10．若函数的图象如图所示，则m的取值范围为(B)

　　　 A．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　

　　　 C．　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　　　 提示：，由图象可知必有两个绝对值大于1的实数根，∴，又在上函数单调递增，∴，故选B．

11．已知函数的最小正周期为，则　____________．

　　　 [答案]1

　　　 提示：，∴最小正周期，∴，∴，∴．

12．设O为坐标原点，A(2，1)，若P的坐标满足，则的最大值为　　　　　　　．

　　　 [答案]

　　　 提示：作出可行域，设取得最大值的点为，则，令，由图形可知当该直线系经过与的交点时有最大值12，故为．

13．设，若在处连续，则__________．

　　　 [答案]

　　　 提示：当点处的极限值等于其函数值，∴，∴，，故得．

14．某市为改善投资环境，计划对城郊结合部如图所示的A、B、C、D、E、F六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域，但要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方法共有____________种(用数字作答)．其中区域A在第一期得到治理的概率是_______________．

　　　 [答案]16，

　　　 提示：分两类，第一类，恰有两个区域相邻--当AB或EF相邻时各有3种，当BC、CD、DE相邻时各有2种；三个区域都不相邻--有种方法；故共有16种方法．

　　　 其中含有A的方法有ABD(E、F)，ACD(DE、EF、DF)和ACE(F)9种，故所求概率为．

15．对大于2或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：

　　　 ，，；，，，，…

　　　 则对进行类似的“分裂”时，“分裂”中的最大的数是____________；若已知在“分裂”中的最小数是21，则的值为______________．

　　　 [答案]9，5

　　　 提示：由得　“分裂”中的最大的数是9；又，而，故知若在“分裂”中的最小数是21，则的值为5．

16．已知函数．

　　　 (1)当时，求函数的单调递增区间；

　　　 (2)当且时，函数的值域为，求的值．

　　　 [解答]，

　　　 (1)当时，，

　　　 ∴当()时是增函数，

　　　 ∴的单调递增区间是()；

　　　 (2)由得，

　　　 ∴，

　　　 ∵，∴当时，取得最小值为3，

　　　 而当时，取得最大值为4，

　　　 即，解得，∴．

17．(本小题满分12分)如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点．

　　　 (1)用t表示向量和的坐标；

　　　 (2)求向量和的夹角的大小；

　　　 (3)求的取值范围。

　　　 [解答](1)＝((t+1)，－(t+1))，

　　 ∵＝t，∴＝t，＝，又＝(，)，

　　　 ＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)，

　　 ∴＝(，－)；

　　　 (2)∵＝(，－)，

　　　 ∴.＝.+.＝，

　　　 又∵||.||＝.，

　　　 ∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°；

　　　 (3)由(2).＝，

　　　 ∴.，且等号不能取得，

　　　 ∴.，所求范围是。

18．(本小题满分12分)一种电器控制器在出厂时每五件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和3件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试．

　　　 (1)求前两次取出都是二等品的概率；

　　　 (2)求第二次取出的是二等品的概率；

　　　 (3)用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的产品件数，求的分布列及数学期望．

　　　 [解答](1)五件产品逐一取出方法共有种，

　　　 前两次取出都是二等品的方法共有种，

　　　 所以前两次取出都是二等品的概率为

　　　 (2)第二次取出是二等品方法共有种，

　　　 所以第二次取出是二等品的概率是：；

　　　 (3)依题意，

　　　 ，

	2	3	4	5
P

　　　 所以分布列为：

　　　 ∴．

19．(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC-A₁B_1­C₁的棱长都是2，点A₁与AB、AC的距离都等于，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥C_1­C于F.

　　　 (1)求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；　　　　

　　　 (2)求点A到平面B₁BCC₁的距离；

　　　 (3)求平面A₁EF与平面A₁B₁C₁所成二面角的大小.

　　　 [解答](1)，∴B₁B平面A₁EF，∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；

　　　 (2)由于A₁A//平面B₁BCC₁，

　　　 故点A、A₁与平面B₁BCC₁的距离相等.

　　 ∵四边形ABB₁A₁为菱形，故A₁E=A₁F=，

　　　 ∵B₁B⊥平面A₁EF，EF平面A₁EF，

　　　 ∴BB₁⊥EF，从而EF=BC=2，

　　 ∴△A₁EF是等腰直角三角形，

　　　 取EF中点M，则A₁M⊥EF，且A₁M=1，

　　　 从而A₁M⊥平面B₁BCC₁，即A₁到平面B₁BCC₁的距离为1；

　　　 (3)设平面A₁EF与平面A₁B₁C₁所成的二面角的棱为直线l，取B₁C₁的中点N，

　　　 则A₁N⊥B₁C₁，但B₁C₁//EF，∴B₁C₁//平面A₁EF，于是B₁C₁//l，

　　　 在△A₁B₁C₁中，A₁N=，∴A₁M⊥l，A₁N⊥l，

　　　 即∠MA₁N为所求二面角的平面角，

　　 ∵A₁M⊥平面B₁BCC₁，∴A_1­M⊥MN，∴cos∠NA₁M=，

　　　 故所求二面角的大小为．

20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，已知A₁，A₂，P()，M，O为坐标原点，若实数使向量，和满足．

　　　 (1)求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

　　　 (2)当时，过点A₁且斜率为1的直线与此时(1)中的曲线相交的另一个交点为B，能否在直线上找到一点C，恰使为正三角形？请说明理由．

　　　 [解答](1)由已知可得，，，且，∴即，

　　　 即点P的轨迹方程是，

　　　 当即时，有，

　　　 此时，∴，综合知此时点的轨迹即为两点A₁和A₂；

　　　 当即时，方程为，

　　　 此时点P的轨迹是双曲线；

　　　 当时，方程为，且为两条射线；

　　　 (2)过点A₁斜率为1的直线方程为，

　　　 当时，曲线方程为，其轨迹就是两点A₁和A₂，

　　　 此时直线过点A₁但不过A₂点，∴B点不存在，从而这样的三角形也不存在．

21．已知函数，记，，且．

　　　 (1)求数列的前项和；

　　　 (2)解关于的不等式；

　　　 (3)证明．

　　　 [解答](1)∵，

　　　 ，

　　　 ……

　　　 ，

　　　 ∴，

　　　 而，

　　　 ∴，∴，

　　　 ∴

；

　　　 (2)当时，成立，故是不等式的一个解，

　　　 当时，成立，故不是不等式的解，

　　　 当时，成立，故也不是不等式的解，

　　　 当，时，∵，

　　　 ∴故，故，都是不等式的解，

　　　 综合知所求的解集为，且；

　　　 (3)∵，

　　　 且由(2)知，

　　　 ∴．