(1)“
”是“
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若函数
，
(其中
，
)的最小正周期是
，且
，则( )
A．
B．
C．
D．
(3)直线
关于直线
对称的直线方程是( )
A．
B．
C．
D．
(4)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
A．
B．
C．
D．
(5)已知随机变量
服从正态分布
，
，则
( )
A．
B．
C．
D，
(6)若
两条异面直线
外的任意一点，则( )
A．过点有且仅有一条直线与都平行
B．过点有且仅有一条直线与都垂直
C．过点有且仅有一条直线与都相交
D．过点有且仅有一条直线与都异面
(7)若非零向量
满足
，则( )
A．
B．
C．
D． 
(8)设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
(9)已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，是准线上一点，且
，
，则双曲线的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
(10)设
是二次函数，若
的值域是
，则的值域是( )
A．
B．
C． D．
第II卷(共100分)
(11)已知复数
，
，则复数
．
(12)已知
，且
，则
的值是 ．
(13)不等式
的解集是 ．
(14)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是 (用数字作答)．
(15)随机变量的分布列如下：
其中
成等差数列，若
，则
的值是 ．
(16)已知点
在二面角
的棱上，点在
内，且
．若对于
内异于的任意一点
，都有
，则二面角的大小是 ．
(17)设
为实数，若
，则的取值范围是 ．
(18)(本题14分)已知
的周长为
，且
．
(I)求边
的长；
(II)若的面积为
，求角
的度数．
(19)(本题14分)在如图所示的几何体中，
平面
，
平面，
，且
，
是的中点．
(I)求证：
；
(II)求
与平面
所成的角．
(20)(本题14分)如图，直线
与椭圆
交于
两点，记
的面积为
．
(I)求在
，
的条件下，的最大值；
(II)当
，
时，求直线的方程．
(21)(本题15分)已知数列
中的相邻两项
是关于
的方程
的两个根，且
．
(I)求
，
，
，
；
(II)求数列的前
项和
；
(Ⅲ)记
，
，
求证：
．
(22)(本题15分)设
，对任意实数
，记
．
(I)求函数
的单调区间；
(II)求证：(ⅰ)当
时，
对任意正实数成立；
(ⅱ)有且仅有一个正实数
，使得
对任意正实数成立．
高中毕业班数学全国统一考试试题数学(理工类)第I卷(共50分)参考答案
数学(理工类)答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
(1)A (2)D (3)D (4)B (5)A
(6)B (7)C (8)D (9)B (10)C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
三、解答题
(18)解：(I)由题意及正弦定理，得
，
，
两式相减，得
．
(II)由的面积
，得
，
由余弦定理，得
，
所以
．
(19)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：
(I)证明：因为
，是的中点，
所以
．
又平面，
所以．
(II)解：过点作
平面，垂足是
，连结
交延长交
于点
，连结
，
．
是直线和平面所成的角．
因为平面，
所以
，
又因为
平面
，
所以
，
则
平面
，因此
．
设
，
，
在直角梯形
中，
，是的中点，
所以
，
，
，
得
是直角三角形，其中
，
所以
．
在
中，
，
所以
，
故与平面所成的角是
．
方法二：
如图，以点为坐标原点，以
，
分别为轴和
轴，过点作与平面垂直的直线为
轴，建立直角坐标系
，设，则
，
，
．
，
．
(I)证明：因为
，
，
所以
，
故
．
(II)解：设向量
与平面垂直，则
，
，
即
，
．
因为
，
，
所以
，
，
即
，
，
直线与平面所成的角
是
与
夹角的余角，
所以
，
因此直线与平面所成的角是．
(20)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
(Ⅰ)解：设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
由
，解得
，
所以
．
当且仅当
时，取到最大值．
(Ⅱ)解：由
得
，
，
． ②
设到的距离为
，则
，
又因为
，
所以
，代入②式并整理，得
，
解得
，
，代入①式检验，
，
故直线的方程是
或
或
，或
．
21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
(I)解：方程的两个根为
，
，
当
时，
，
所以
；
当
时，
，
，
所以
；
当
时，
，
，
所以
时；
当
时，
，
，
所以
．
(II)解：
．
(III)证明：
，
所以
，
．
当
时，
，
，
同时，
．
综上，当
时，
．
22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
(I)解：
．
由
，得
．
因为当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故所求函数的单调递增区间是
，
，
单调递减区间是
．
(II)证明：(i)方法一：
令
，则
，
当
时，由
，得
，
当
时，
，
所以
在
内的最小值是
．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令
，则
，
由
，得
．
当
时，
．
当
时，
，
所以当时，
取得最大值
．
因此当时，
对任意正实数成立．
(ii)方法一：
．
由(i)得，
对任意正实数成立．
即存在正实数
，使得
对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当
，
，
时，
，
，
由(i)得，
，
再取
，得
，
所以
，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得
对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为
关于的最大值是
，所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即
， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．