21．解：(1)由

　　　 整理得　 ．

　　　 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

　　　 (2)方法一：

　　　 由(1)可知，故．

　　　 那么，

　　　 又由(1)知且，故，

　　　 因此　　　 为正整数．

方法二：

由(1)可知，

因为，

所以　　　 ．

由可得，

即　

两边开平方得　　 ．

即　 为正整数．

全国2文17

设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．

解：由题设知，

则　　②

由②得，，，

因为，解得或．

当时，代入①得，通项公式；

当时，代入①得，通项公式．

全国1理22

已知数列中，，．

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若数列中，，，

证明：，．

解：(Ⅰ)由题设：

，

．

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

，

即的通项公式为，．

(Ⅱ)用数学归纳法证明．

(ⅰ)当时，因，，所以

，结论成立．

(ⅱ)假设当时，结论成立，即，

也即．

当时，

，

又，

所以　

．

也就是说，当时，结论成立．

根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．

全国1文21

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

(Ⅰ)求，的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前n项和．

解：(Ⅰ)设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．

(Ⅱ)．

，①

，②

②－①得，

．

辽宁理21

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

(I)若，，，存在，求的取值范围；

(II)若函数为上的增函数，，，，证明对任意，(用表示)．

江西理22

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

(1)求，；

(3)求数列的通项．

解：(1)据条件得　　 ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

(2)方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由(1)知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

(2)方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由(1)知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

江西文21

设为等比数列，，．

(1)求最小的自然数，使；

(2)求和：．

解：(1)由已知条件得，

因为，所以，使成立的最小自然数．

(2)因为，…………①

，…………②

得：

所以．

江苏理20

已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，

(1)若是大于的正整数，求证：；(4分)

(2)若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；(8分)

(3)是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；(4分)

解：设的公差为，由，知，()

(1)因为，所以，

，

所以

(2)，由，

所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为

，设数列中的某一项=

现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以

，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为

与数列的第项相等，从而结论成立。

(3)设数列中有三项成等差数列，则有

2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。

湖南理21

已知()是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

(I)证明：数列()是常数数列；

(II)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

(III)证明：当时，弦()的斜率随单调递增

解：(I)当时，由已知得．

因为，所以．　　　　　　　　…… ①

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　……②

由②－①得．　　　　　　　　　　　　　　…… ③

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　……　 ④

由④－③得，　　　　　　　　　　　　　　　　…… ⑤

所以，即数列是常数数列．

(II)由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

(III)解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由(II)知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．

湖南文20

设是数列()的前项和，，且，，．

(I)证明：数列()是常数数列；

(II)试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．