8. 建造一个容积为8m,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 设a>0,a≠1,试求方程log(x-ak)=log(x-a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)
[解] 将原方程化为:log(x-ak)=log, 等价于
(a>0,a≠1)
∴ k=- ( ||>1 ),
设=cscθ, θ∈(-,0)∪(0, ),则 k=f(θ)=cscθ-|ctgθ|
当θ∈(-,0)时,f(θ)=cscθ+ctgθ=ctg<-1,故k<-1;
当θ∈(0,)时,f(θ)=…
综上,k的取值范围是…
[注] 引入新的变量,而用函数值域加以分析,此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)
[另解] (数形结合法):
[再解] (方程讨论法):
例2. 设不等式2x-1>m(x-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
[分析] 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,记f(m)=(x-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。
[解] 设f(m)=(x-1)m-(2x-1), 则
解得x∈(,)
[注] 本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。
例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S,已知a=12,S>0,S<0 。
①.求公差d的取值范围; ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大,并说明理由。(92年全国高考)
[分析] ①问用a、S易求;②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。
[解]
[注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
[另解②问](寻求a>0、a<0 ):
例4. 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。
[分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。
P
M
A
H B
D C
[解] 在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,
设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。
∴MD=x+[(2r-x)sinθ]=(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ
=(sinθ+1)[x-]+
即当x=时,MD取最小值为两异面直线的距离。
[注] 求最大值、最小值的实际问题,将文字说明转化成数学语言后,建立数学模型和函数关系式,利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列,且tgA.tgC=2+,又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
[解] 由A、B、C成等差数列,可得B=60°;
由△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC,得tgA+tgC=tgB(tgA.tgC-1)=(1+)
设tgA、tgC是方程x-(+3)x+2+=0的两根,解得x=1,x=2+
设A<C,则tgA=1,tgC=2+, ∴A=,C=
…
例6. 若(z-x) -4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。
[分析] 题设正好是判别式b-4ac=0的形式,因此构造一个一元二次方程求解。
[证明] 当x=y时,可得x=z, ∴x、y、z成等差数列;
当x≠y时,设方程(x-y)t-(z-x)t+(y-z)=0,由△=0得t=t,并易知t=1是方程的根。
∴t.t==1 , 即2y=x+z , ∴x、y、z成等差数列
[注] 题设条件具备或经变形整理后具备x+x=a、x.x=b的形式,则利用根与系数的关系构造方程;具备b-4ac≥0或b-4ac≤0的形式,可利用根的判别式构造一元二次方程。
例7. △ABC中,求证:cosA.cosB.cosC≤ 。
[证明] 设k=cosA.cosB.cosC=[cos(A+B)+cos(A-B)].cosC=[-cosC+cos(A-B)]cosC
整理得:cosC-cos(A-B).cosC+2k=0,即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △=cos(A-B)-8k≥0 即 8k≤cos(A-B)≤1 ∴ k≤即cosA.cosB.cosC≤
[注]既是方程思想,也属判别式法。还可用放缩法:cosA.cosB.cosC=… =
-cosC+cos(A-B).cosC=-[cosC-]+cos(A-B)≤cos(A-B) ≤
例8. 设f(x)=lg,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围。
[解] 由题可知,不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即:()+()+a>0
设t=(),
则t≥, 又设g(t)=t+t+a,其对称轴为t=-
∴ t+t+a=0在[,+∞)上无实根, 即 g()=()++a>0,得a>-
[注] 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法:
Ⅲ、巩固性题组: