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10.(北师大版第52页例3)应用
变式1: 解:设矩形ABCD在x轴上的边是BC,BC的长是x(0<x<a),
则B点的坐标为,A点的坐标为.
设矩形ABCD的周长为P,
则P=2(0<x<a).
① 若a>2,则当x=2时,矩形的周长P有最大值,这时矩形两边的长分别为2和,两边之比为8:;
②若0 <a≤2,此时函数P=无最大值,也就是说周长最大的内接矩形不存在.
综上所述,当a>2时,周长最大的内接矩形两边之比为8:;当0 <a≤2时,周长最大的内接矩形不存在.
变式2: 解:(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为
f (x) = kx,g(x) = m,
由 f (1) = k = 0.25, g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ,
∴ f (x) = x(x≥0),g(x) = .
(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元,则在 A 产品投资 10-x 万元,
∴ 企业的利润 y = (10-x) + = [-(-) 2 + ](0≤x≤10),
∴ = ,即 x = 6.25 万元时,企业获得最大利润 ≈4 万元.
答:在 A 产品投资 3.75 万元,在 B 产品投资 6.25 万元,企业获得最大利润约 4 万元.
变式3: 解:设,要使有意义,必须且,即,
∵,且……①
∴的取值范围是.
由①得:,
不妨设,.
(I)由题意知即为函数,的最大值,
当时,,,有=2;
当时,此时直线是抛物线的对称轴,
∴可分以下几种情况进行讨论:
(1)当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段,
由知在上单调递增,故;
(2)当时,,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段,
若即时,,
若即时,,
若即时,.
综上所述,有=.
(II)若a>0,则>0,此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=-1);
若-<a<0,则<-2,此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=-2+<-(舍去);
若-<a≤-,则-2≤<-,
此时g(a)=g( ) Û -a-= Þ a=- (舍去);
若-≤a≤-,则-≤≤-,
此时g(a)=g( ) Û =恒成立;
若-2≤a<-,则-<≤-,
此时g(a)=g( ) Û =-a-Þ a=- (舍去);
若a<-2,则-<<0,
此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=-2+>-2 (舍去) .
综上所述,满足的所有实数a为:或.