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九、直线、平面、简单几何体参考答案

1、D;2、C;3、B;4、D;5、;6、B;7、A;8、;9、D;10、

11、D;12、

13. (I)证:三棱柱, 又平面

平面平面    

    (II)证:三棱柱

         是等腰三角形,

        E是等腰底边的中点,

        又依条件知,且

        由①,②,③得平面EDB

    (III)解:平面,且不平行,

         故延长,ED后必相交,设交点为E,连接EF,如下图

         是所求的二面角,依条件易证明

         中点,A为中点,

         , 即 

        又平面EFB,是所求的二面角的平面角

        E为等腰直角三角形底边中点,

        故所求的二面角的大小为 

14、解: 以A1B1所在直线为轴,A1D1所在直线为y轴,A1A所在直线为z轴,建立空间直角坐标系。

(1)设E是BD的中点,∵P-ABCD是正四棱锥,

     又, 

∴   = (-2,2,0), = (1,1,2),

    ∵    .=0,∴      ⊥,即 。

(2)设平面PAD的法向量是m = (x,y,z), ∵= (0,2,0) , = (1,1,2) ,

    ∴     Þ  Þ ,

得m = (-2,0,1),∴cos<m,n> =  = - ,

15.解:如图所示,建立空间直角坐标系,是底面的中心,

则有关点的坐标为

的中点,的重心,

∴它们的坐标为

(1)

两点间的距离为

(2),设的夹角为

∴异面直线所成角的余弦值为

(3)的中点,可以证明直线是直线在平面上的射影.

所成角就是与平面所成的角.点的坐标为(0,2,0)

=(0,2,0),=(0,,-1).

的夹角为,则

与平面所成的角为

16、(I)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥CD,DA⊥AB,∵A点移动到了P点

       ∴PD⊥PB,又∵P点在平面BCD上的射影在CD上,∴过P点作PF⊥CD

       ∴PF⊥面BCD,∴BC⊥面PCD,∴BC⊥PD,∴PD⊥面PBC, ∴PD⊥PC

   (II)解:∵PF⊥面BCD, ∴过点F作FE⊥BD,连结PE

       ∴∠PEF为二面角P-BD-C的平面角,∵PD⊥PC,∴△CPD为Rt△

        

       又∵在中,,∴PE=3

       

   (III)解:过F点作FG⊥PE,由(2)可知FG⊥面PBD,连结GD

         ∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角

         ∵在中,,∴DF=2

         ∵在中,

 

17、解:(I)以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系(图略).

     设PA=a,则A(0,0,0),B(2,0,0)C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,a),

M(0,1,0),N(2,1,0). 

∴MN⊥平面PAD. ∵MN平面PMN,∴平面PMN⊥平面PAD.

(II)平面PBA的一个法向量为.

∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为 

 

(III)由(I),MN⊥平面PAD,知PM⊥MN,MQ⊥MN,

∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角.

18、解:(1)延长使,连结中点,所以

故直线所成的锐角(或直角)就是所成的角…2分

平面 ∴,又. ∴

中点,故.所以,又,因此为等边三角形.所以 ∴直线所成的角是 

(2)设到平面的距离为,则

 ∴

(3)由上可知,,又中点,故

由平面平面,∴应平面

,即应为过的垂线和的交点.

,所以的中垂线过点,即点.

19、解:(I)证明:在△ABC中,ACBCMAB的中点,∴CMAB

又∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,

∴平面ABB1A1⊥平面ABC            CM⊥平面ABB1A1

CM平面CMD,                    ∴平面CMD⊥平面ABB1A1

(II)解法一

         过MMEBDE,连结CE

CM⊥平面ABB1A1                           

MECE在平面ABB1A1上的射影,∴CEBD,        所以∠CEM是二面角的平面角.

       由=1,则AB

       取MB的中点F,则BF

       由得: 

       在RtCME中,tan∠CEM

       所以∠CEM 

       即二面角的大小是        

解法二(向量法):以C为原点,分别以CACBCC1所在直线为xyz轴,建立如图所示空间直角坐标系,令=1,

C(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),

B(0,1,0),B1(0,1,1),M(,0),

D(,1),C1(0,0,1),

设平面CBD的法向量为,则

                                                     取,则,∴

而平面MBD的法向量是=(,0),

∴cos<>=,即<>=

如图可知,二面角为锐角,∴二面角的大小为