[例1]原市话资费为每3分钟0.18元,现调整为前3分钟资费为0.22元,超过3分钟的,每分钟按0.11元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率(
)
A.不会提高70%
B.会高于70%,但不会高于90%
C.不会低于10%
D.高于30%,但低于100%
[小题大做]设一次通话时间为x分钟,调整前话费为S1元,调整后话费为S2元,提价的百分率为y,则y = .100%,列表如下(时间包尾计算):
x范围 (n∈N+)
S1
S2
y
x∈
0.18
0.22
22.2%
x∈
0.18n+0.18
0.22+0.11[(3n+1)-3]=0.33n
.100%
x∈
0.18n+0.18
0.22+0.11[(3n+2)-3]=0.33n+0.11
.100%
x∈
0.18n+0.18
0.22+0.11[(3n+3)-3]=0.33n+0.22
.100%
根据表中计算结果:y < .100%≈83.3%,取n=1,对应于y = -8.3%、22.2%、50.8%,故排除A、C、D,选B。
[小结]这里运用了分类讨论和表格,进行建模、计算、排除,若是一道解答题,这样做是再好不过,遗憾的是选择题,那如何“巧”做呢?!
[特殊值法]取x=4,y=.100%≈-8.3%,排除C、D;取x=30,
y = .100%≈77.2%,排除A,从而选B。
『类题1』 设 = , p = (x1 -)2+ (x2 -)2+…+ (xn -)2,
q = (x1- a)2+ (x2 -a)2+…+ (xn -a)2,若 ≠a,则一定有( )
A.p>q B.p=q C.p<q D.与a的值有关
特殊化,n =1,p =0,q >0,选C,此为方差最小原理,如何证明?
『类题2』在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,如果a、b、c成等差数列,则
法一:取a=3,
b=4, c=5 ,则cosA=cosC=0,
法二:取A=B=C=600 cosA=cosC=,
『类题3』过抛物线y=ax2 (a>0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点,如果线段PF与FQ的长分别是p、q,则
A、2a
B、 C、4a
D、
法一:取特殊情况,PQ∥x轴,,选C
法二: 取特殊情况,PQ∥y轴,,
选C
[例2]以双曲线 的左焦点F,左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线y=kx+3所得的弦恰好被x轴平分,则k的取值范围是
。
[小题大做]F(-2,0),l:x =- ,可设椭圆 (a>b>0),与直线y=kx+3联立,消去y得:(b2+a2k2)x2 -2(b2x0-3a2k)x+9a2-a2b2
= 0,△>0时得 = ,又直线y=kx+3与x轴交于点(- ,0),据题设知:- =,解得x0 =- ,而椭圆中心O1(x0,0)在右焦点F的左侧,∴x0 =- <-2,解得0<k<。
[小结]若简缩思维,抓住问题的本质:直线与x轴的交点--弦的中点--椭圆的中心(为什么?),你有哪些科学的解法?
[解法一](特征分析法):F(-2,0),
l:x =-,根据椭圆的对称性知椭圆中心
O1(- ,0),又- < -2,得0 < k < 。
[解法二]作出椭圆(草图),注意到直线y=kx+3过定点M(0,3)及椭圆中心O1,
知kOM=k∈(0,)。
『类题1』设球的半径为R,
P、Q是球面上北纬600圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的长是,则这两点的球面距离是( )
A、
B、
C、 D、
分析:纬线弧长>球面距离>直线距离,排除A、B、D,选C
『类题2』sin2180+sin2540= ( )
A、1
B、
C、
D、
分析:,选B
『类题3』,记数列{an}的前n项和为Sn,则使得Sn>0的最小正整数n的值是( )
A、10
B、11
C、12
D、5
分析:的图象关于点(5.5,0)对称,S10=0,选B