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参考答案

一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算,每小题5分,满分60分.

1.C  2.C  3.D  4.A  5.A  6.B

7.D  8.B  9.D  10.B  11.B  12.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13.         14.          15.

16.答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力.满分12分.

解:(Ⅰ)

(Ⅱ)由

18.本小题主要考查概率的基础知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.满分12分.

解:记“甲第次试跳成功”为事件,“乙第次试跳成功”为事件,依题意得,且()相互独立.

(Ⅰ)“甲第三次试跳才成功”为事件,且三次试跳相互独立,

答:甲第三次试跳才成功的概率为

(Ⅱ)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件

解法一:,且彼此互斥,

解法二:

答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为

(Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功次”为事件

“乙在两次试跳中成功次”为事件

事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为,且为互斥事件,

所求的概率为

答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为

19.本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

解法一:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

正三棱柱中,平面平面平面

连结,在正方形中,分别为

的中点,

在正方形中,

平面

(Ⅱ)设交于点,在平面中,

,连结,由(Ⅰ)得平面

为二面角的平面角.

中,由等面积法可求得

所以二面角的大小为

解法二:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

在正三棱柱中,

平面平面

平面

中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则

平面

(Ⅱ)设平面的法向量为

为平面的一个法向量.

由(Ⅰ)知平面

为平面的法向量.

二面角的大小为

20.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.

解:(Ⅰ)

时,取最小值

(Ⅱ)令

(不合题意,舍去).

变化时的变化情况如下表:










递增
极大值
递减

内有最大值

内恒成立等价于内恒成立,

即等价于

所以的取值范围为

21.本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.满分12分.

解:(Ⅰ)

数列是首项为,公比为的等比数列,

时,

(Ⅱ)

时,

时,,…………①

,………………………②

得:

也满足上式,

22.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分.

解法一:(Ⅰ)设点,则,由得:

,化简得

(Ⅱ)(1)设直线的方程为:

,又

联立方程组,消去得:

得:

,整理得:

解法二:(Ⅰ)由得:

所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:

(Ⅱ)(1)由已知,得

则:.…………①

过点分别作准线的垂线,垂足分别为

则有:.…………②

由①②得:,即

(Ⅱ)(2)解:由解法一,

当且仅当,即时等号成立,所以最小值为