精英家教网> 试卷> 高中毕业班数学全国统一考试试题 数学(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 参考公式: .如果事件互斥,那么                         球的表面积公式                               .如果事件相互独立,那么                  其中表示球的半径        > 题目详情
题目所在试卷参考答案:

数学(理工类)参考解答

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.

1.C            2.B            3.A            4.D            5.C           

6.D            7.B            8.B            9.A            10.A

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.

11.2                                  12.                            13.3           

14.                  15.                             16.390

三、解答题

17.本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.

(Ⅰ)解:

因此,函数的最小正周期为

(Ⅱ)解法一:因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又

故函数在区间上的最大值为,最小值为

解法二:作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下:

由图象得函数在区间上的最大值为,最小值为

18.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

(Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件.由于事件相互独立,且

故取出的4个球均为黑球的概率为

(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件.由于事件互斥,

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

(Ⅲ)解:可能的取值为.由(Ⅰ),(Ⅱ)得

.从而

的分布列为


0
1
2
3





的数学期望

19.本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.

(Ⅰ)证明:在四棱锥中,因底面平面,故

平面

平面

(Ⅱ)证明:由,可得

的中点,

由(Ⅰ)知,,且,所以平面

平面

底面在底面内的射影是

,综上得平面

(Ⅲ)解法一:过点,垂足为,连结.则(Ⅱ)知,平面在平面内的射影是,则

因此是二面角的平面角.

由已知,得.设

可得

中,

中,

所以二面角的大小是

解法二:由题设底面平面,则平面平面,交线为

过点,垂足为,故平面.过点,垂足为,连结,故.因此是二面角的平面角.

由已知,可得,设

可得

于是,

中,

所以二面角的大小是

20.本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

(Ⅰ)解:当时,

所以,曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)解:

由于,以下分两种情况讨论.

(1)当时,令,得到.当变化时,的变化情况如下表:









0

0



极小值

极大值

所以在区间内为减函数,在区间内为增函数.

函数处取得极小值,且

函数处取得极大值,且

(2)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:









0

0



极大值

极小值

所以在区间内为增函数,在区间内为减函数.

函数处取得极大值,且

函数处取得极小值,且

21.本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)解法一:

由此可猜想出数列的通项公式为

以下用数学归纳法证明.

(1)当时,,等式成立.

(2)假设当时等式成立,即

那么

这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立.

解法二:由

可得

所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为

(Ⅱ)解:设,   ①

        ②

时,①式减去②式,

这时数列的前项和

时,.这时数列的前项和

(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:

.    ③

,要使③式成立,只要

因为

所以③式成立.

因此,存在,使得对任意均成立.

22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分14分.

(Ⅰ)证法一:由题设,不妨设点,其中.由于点在椭圆上,有,即

解得,从而得到

直线的方程为,整理得

由题设,原点到直线的距离为,即

代入上式并化简得,即

证法二:同证法一,得到点的坐标为

过点,垂足为,易知,故

由椭圆定义得,又

所以

解得,而,得,即

(Ⅱ)解法一:设点的坐标为

时,由知,直线的斜率为,所以直线的方程为,或,其中

的坐标满足方程组

将①式代入②式,得

整理得

于是

由①式得

.将③式和④式代入得

代入上式,整理得

时,直线的方程为的坐标满足方程组

所以

,即

解得

这时,点的坐标仍满足

综上,点的轨迹方程为 

解法二:设点的坐标为,直线的方程为,由,垂足为,可知直线的方程为

(显然),点的坐标满足方程组

由①式得.      ③

由②式得.   ④

将③式代入④式得

整理得

于是.   ⑤

由①式得.   ⑥

由②式得.  ⑦

将⑥式代入⑦式得

整理得

于是.   ⑧

.将⑤式和⑧式代入得

代入上式,得

所以,点的轨迹方程为