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15.(人教A版必修2第144页练习第3题)
某圆拱桥的水面跨度20,拱高4.现有一船宽10,水面以上高3,这条船能否从桥下通过?
变式1:某圆拱桥的水面跨度是20,拱高为4.现有一船宽9,在水面以上部分高3,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低
时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01)
解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为.
∵圆经过点(10,0),(0,4),∴,解得.
∴圆的方程是. 令,得.
故当水位暴涨1.5后,船身至少应降低,船才能通过桥洞.
变式2:据气象台预报:在城正东方300的海面处有一台风中心,正以每小时40的速度向西北方向移动,在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约
,台风将影响城,持续时间约为 .(结果精确到0.1)
解:以为原点,正东方向所在直线为轴,建立直角坐标系,则台风中心的移动轨迹是,受台风影响的区域边界的曲线方程是.
依题意有,解得.
∴.
∴从现在起经过约2.0,台风将影响城,持续时间约为6.6.
变式3:有一种商品,、两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时,单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10,顾客购买这种商品选择地或地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.
解:以的中点为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,则,.设是售货区域分界线上的任意一点,单位距离的运费为元,则,∴,化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心,为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货,在曲线外的居民选择去地购货,在曲线上的居民去、两地购货均可.