参考答案

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项符合要求)

二.填空题(每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

　　 13.　　　　　　　 14.①②③　 　　　　　　　15. 　　　　　　　　16.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

　17.(本小题满分12分)

　　　 设函数图象的一条对称轴是直线.

　　　 ⑴求； 　　　　　　　　　　⑵求函数的单调增区间；

　　　 ⑶画出函数在区间上的图象.

　 解：⑴∵是函数的图像的对称轴,∴,∴.

　　　　　　　　 .∵,∴.

　　　 ⑵由⑴知,由题意得,

　　　 ⑶由

　18.(本小题共12分) (文)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不

　　　 合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概

　　　 率分别为；在实验考核中合格的概率分别为,所有考核是否合格相互之间没

有影响.

　　 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

　　 (Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数)

　　解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；

　　　 记为的对立事件,；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；

　　　 “丙实验考核合格”为事件.

　　 (Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件,记为的对立事件.

　 解法：

　　　　　　　　　　　 .

　 解法：

　　　　　　 . ∴理论考核中至少有两人合格的概率为.

　(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件.

　　　　 .

　　　　 ∴这三人该课程考核都合格的概率为.

　　 (理)某城市有甲、乙、丙个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是,,,且

　　　　 客人是否游览哪个景点互不影响,设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点

　　　　 数之差的绝对值.

　　 (Ⅰ)求的分布及数学期望；

　　 (Ⅱ)记“函数在区间上单调递增”为事件,求事件的概率.

　 解：(Ⅰ)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事件.

　　　 由已知相互独立, ,,.客人游览的景点数的可能取值

　　　 为.相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为,∴的可能取值为1，3.

　　　 ∴的分布列为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

　　 (Ⅱ)的可能取值为.当时,函数在区间上单调递增,

　　　　 当时,函数在区间上不单调递增.∴.

　19.(本题满分12分)(文)已知函数.

　　 (Ⅰ)求；　　　　 (Ⅱ)若,函数的图象能否总在直线的下方?说明理由.

　　 (Ⅲ)若函数在上是增函数,是方程的一个根.求证：.

　 解：(文) (Ⅰ).

　　(Ⅱ)时,,令得.由于,,

　　 ∴函数的图象不能总在直线的下方.

　 (Ⅲ)因函数在上是增函数,∴在区间上恒成立,即在

　　　 区间上恒成立,∴,又由得,而,

　　　 即.

　 (理)已知函数是定义在上的奇函数,当时,.

　 　　(Ⅰ)求的解析式；　　　 (Ⅱ)试确定函数的单调区间,并证明你的结论；

　 　　(Ⅲ)若,且,证明：.

　　(理)解：(Ⅰ)当时,.设,则,∴

　　　　　 ,∵是奇函数,∴,故.

　 (Ⅱ)设是区间上的任意两个实数,且

　　　　　 则,当时,

　　　 　　,而及,∴,即在上

　　　　　 为减函数.同理,当,,即在上为增函数.

　　 (Ⅲ)∵,∴同号,先证明均为正数.∵在是增函数,由得

　　　　　　 ,又,∴,∴.

　　　　　　 ∵,∴.且,即,∴,

　　　　　　　 .

　　　　　　 若均为负数,,则.已知在上是增函数,

　　　　　　 ,又,∴

　　　　　　 ∴,,∴.

　20.(本小题共12分)已知斜三棱柱,,,在底面上

　　　 的射影恰为的中点,又知.

　　 (Ⅰ)求证：平面；　 　　　(Ⅱ)求到平面的距离；

　　　 (Ⅲ)求二面角的大小.

　　解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,又,∴平面,

　　　　　 得,又,∴平面.

　　 (Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,又为

　　　　　 中点,知∴.取中点,则平面,

　　　　　 从而面面,过作于,则面,

　　　　　　 　 在中,,故,即到

　　　　　 平面的距离为.

　　 (Ⅲ)过作于,连,则,从而

　　　　　 为二面角的平面角,在中,,

　　　　 ∴,在中,,故二面角的大小为.

　　 解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,

　　　　 又平面,以为轴建立空间坐标系,

　　　　 则,,,,,,

　　　　 ,,由,知,

　　　　　 又,从而平面.

　　(Ⅱ)由,得.设平面的法向量

　　　　　　 为,,,,设,则.

　　　 ∴点到平面的距离.

　 (Ⅲ)设面的法向量为,,,∴.

　　　　　　 　 设,则,故,根据法向量的方向

　　　　　 可知二面角的大小为.

　21.(本小题满分12分)设、分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等

　　 于焦距,且为它的右准线.

　　 ⑴求椭圆的方程；

　　 ⑵设为右准线上不同于点的任意一点,若直线、　

　　　　 分别与椭圆相交于异于、的点、,证明：点在以

　　　　 为直径的圆内.

　　解：⑴依题意得,,解得,从而.故椭圆的方程为.

　　⑵解法：由⑴得,,.∵M点在椭圆上,∴　①.又点异于

　　　 点、,∴,由三点共线得.∴,,

　　　 ∴　 ②.将①代入②,化简得.

　　 ∵,∴,则为锐角,∴为钝角,故点在以为直径的圆内.

　　 解法：由⑴得,,设.则,.又的中点

　　　 　　为,依题意,点到圆心的距离与半径的差

　　　　　 　③.又直线：,

　　　　　 直线：,而两直线与的交点在准线上,∴,即

　　　　 　④.又点M在椭圆上，则，即　⑤.于是将④、⑤

　　　　　 代入③,化简后可得.从而,点在以为直径的圆内.

　22.(本小题满分14分)(文)已知数列满足,且对一切,有,其中.

　　 (Ⅰ)求数列的通项公式；　　 　　　　　　　　　　(Ⅱ)求证：.

　　 解：(文)(Ⅰ)由　　①　　 得　　②　　　　　 ②-①得

　　　　　 ,∵, ∴.

　　　 　　由,得,两式相减,得.

　　　 　　∵,∴.当时易得,,,∴.

　　　 　　从而是等差数列,其首项为,公差,故.

　　 (Ⅱ).

　(理)已知数列中,,.

　　　　 ⑴求及通项；

　　　　 ⑵设数列满足，求证：.

　 解：⑴,　①； 　　②

　　　　　　　　 ①②得,即,,

　　　　　　　 ∴.∴.

　　　 ⑵由⑴得,,∴是单调递增数列.

　　　　　 故要证,只需证.若,则显然成立.

　　　　　 若,则.∴.

　　　　　 因此,, ∴,故.