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17 (本小题12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期;
(II) 当时,求函数的最大值,最小值
18 (本小题12分)
一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行不放回抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的:一次取一件产品检查,若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品,而前三次中只要抽查到次品就停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品
(I)求这箱产品被用户拒绝接收的概率;
(II)记x表示抽检的产品件数,求x的概率分布列及期望
19 (本小题满分12分)
如图,已知正三棱柱ABC- ,D是AC的中点,∠DC = 60°
(Ⅰ)求证:A∥平面BD;
(Ⅱ)求二面角D-B-C的大小。
20 (本小题12分)
已知函数()
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 若不等式对恒成立,求a的取值范围
21 (本小题12分)
如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,直线⊥x轴于点C, ,,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍
(I)求点的轨迹方程;
(II)设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点(与点K均不重合),且满足 求直线EF在X轴上的截距;
(Ⅲ)在(II)的条件下,动点满足,求直线的斜率的取值范围
22.(本小题14分)已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根,且.
(I)求,,,;
(II)求数列的前项的和;
(Ⅲ)记,
,
求证:.
22、
高三数学(理科)模拟试题(三)参考答案
一、1 B 2 D 3 A 4 D 5 D 6 B
7 A 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B
二、13、3 14、-160 15、 16、
三、17、解: (1) …… 3分
的最小正周期为 ………………… 5分
(2) , ………………… 7分
………………… 10分
………………… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值 ………… 12分
18、(I)解:设这箱产品被用户拒绝接收事件为A,被接收为,则由对立事件概率公式
得:
即这箱产品被用户拒绝接收的概率为 ………… 6分
(II)
………… 10分
|
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
…………11分
∴ E= …………12分
19、解法一:
(Ⅰ)连结B1C交BC于O,则O是BC的中点,连结DO。
∵在△AC中,O、D均为中点,
∴A∥DO …………………………2分
∵A平面BD,DO平面BD,
∴A∥平面BD。…………………4分
(Ⅱ)设正三棱柱底面边长为2,则DC = 1。
∵∠DC = 60°,∴C= 。
作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC,
∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F,连结DF,则 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………………………………8分
在Rt△DEC中,DE=
在Rt△BFE中,EF = BE.sin
∴在Rt△DEF中,tan∠DFE =
∴二面角D-B-C的大小为arctan………………12分
解法二:以AC的中D为原点建立坐标系,如图,
设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。
则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),
(1,0), ,
(Ⅰ)连结C交B于O是C的中点,连结DO,则 O. =
∵A平面BD,
∴A∥平面BD.……………………………………………………………4分
(Ⅱ)=(-1,0,),
设平面BD的法向量为n = ( x , y , z ),则
即 则有= 0令z = 1
则n = (,0,1)…………………………………………………………8分
设平面BC的法向量为m = ( x′ ,y′,z′)
|
|
|
|
|
令y = -1,解得m = (,-1,0)
二面角D -B-C的余弦值为cos<n , m>=
∴二面角D-B-C的大小为arc cos …………12分
20、解: 对函数求导得: ……………2分
(Ⅰ)当时,
令解得 或
解得
所以, 单调增区间为,,
单调减区间为(-1,1) ……………5分
(Ⅱ) 令,即,解得或 ………… 6分
由时,列表得:
x |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
……………8分
对于时,因为,所以,
∴>0 ………… 10 分
对于时,由表可知函数在时取得最小值
所以,当时,
由题意,不等式对恒成立,
所以得,解得 ……………12分
21、解: (I)依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,
离心率为的椭圆
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
又,,∴点在x轴上,且,则3,
解之得:,
∴坐标原点为椭圆的对称中心
∴动点M的轨迹方程为: ………… 4分
(II)设,设直线的方程为(-2〈n〈2),代入得
………… 5分
,
………… 6分
,K(2,0),,
,
解得: (舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为 …………8分
(Ⅲ)设,由知,
直线的斜率为 ………… 10分
当时,;
当时,,
时取“=”)或时取“=”),
综上所述 ………… 12分
22、(I)解:方程的两个根为,,
当时,,所以;
当时,,,所以;
当时,,,所以时;
当时,,,所以. ………… 4分
(II)解:
. ………… 8分
(III)证明:,
所以,
. ………… 9分
当时,
,
………… 11分
同时,
. ………… 13分
综上,当时,. ………… 14分