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1 已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=
A.4 B. C. D.
2 过点的直线经过圆的圆心,则直线的倾斜角大小为
A. B. C. D.
3 设函数f( x )的图象关于点(1,)对称,且存在反函数( x ),若f(3) = 0,
则(3)等于
A.-1 B.1 C.-2 D.2
4 设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n; ④若α∥β,β∥γ,m⊥α,,则m⊥γ
其中正确命题的序号是:
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
5.函数y = cos(2x+)的一条对称轴方程是
A.x = - B.x = - C.x = - D.x =
6 ,则“”是“”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
7 若点在双曲线的左准线上,过点且方向向量为的光线,经直线反射后通过双曲线的左焦点,则这个双曲线的离心率为
A B. C. D.
(注:解答题答题卷的空间自留)
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7. A 8.A 9.C 10.D
11.C 12.B
二、填空题
13、3 14、 15、-160 16、 ()
三、解答题
17、(1) ……… 3分
的最小正周期为 ………………… 5分
(2), ………………… 7分
………………… 10分
………………… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值 ……… 12分
18(1)P1=; ……… 6分
(2)方法一:P2=
方法二:P2=
方法三:P2=1- ……… 12分
19、解法一:(1)连结C交BC于O,则O是B C的中点,连结DO
∵在△AC中,O、D均为中点,
∴A∥DO…………………………2分
∵A平面BD,DO平面BD,∴A∥平面BD ……4分
(2)设正三棱柱底面边长为2,则DC = 1,
∵∠DC = 60°,∴C= ,作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC,∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F,连结DF,则 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……8分
在Rt△DEC中,DE=
在Rt△BFE中,EF = BE.sin
∴在Rt△DEF中,tan∠DFE =
∴二面角D-B-C的大小为arctan………………12分
解法二:以AC的中D为原点建立坐标系,如图,
设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = ,
则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),
(1,0), ,
(1)连结C交B于O是C的中点,连结DO,则
O, =
∵A平面BD,∴A∥平面BD .………………………4分
(2)=(-1,0,),
设平面BD的法向量为n = ( x , y , z ),则
即 则有= 0令z = 1
则n = (,0,1) …………………………………8分
设平面BC的法向量为m = ( x′ ,y′,z′)
|
|
|
|
|
令y = -1,解得m = (,-1,0)
二面角D -B-C的余弦值为cos<n , m>=
∴二面角D-B-C的大小为arc cos …………12分
20、(1)f(x)=x3+ax2+bx+c, f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(-)=a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,得
a=-,b=-2,………… 3分
f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x |
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
所以函数f(x)的递增区间为(-∞,-)与(1,+∞);递减区间为(-,1)…6分
(2)f(x)=x3-x2-2x+c x∈[-1,2],当x=-时,f(x)=+c为极大值,
而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值. ………… 8分
要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只须c2>f(2)=2+c,
解得c<-1或c>2. ………… 12分
21、(1)方程的两个根为,,
当时,,所以;当时,,,所以;
当时,,,所以时;
当时,,,所以. ………… 4分
(2)
. ………… 8分
(3)= ………… 12分
22、(1)依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,
离心率为的椭圆
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
又,,∴点在x轴上,且,且则3
解之得:,,∴坐标原点为椭圆的对称中心
∴动点M的轨迹方程为: ………… 4分
(2)设,设直线的方程为,代入得
………… 5分
,
………… 6分
,,
,
解得: (舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为 …………8分
(3)设,由知,
直线的斜率为 ………… 10分
当时,;
当时,,
时取“=”)或时取“=”),
………… 12分
综上所述 ………… 14分