精英家教网> 试卷> 难点26  垂直与平行 垂直与平行是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质,并能利用它们解决一些问题. ●难点磁场 ()已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1=B1C1=2,D、D1分别是AB、A1B1的中点,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1,异面直线AB1和C1B互相垂直. (1)求证:AB1⊥C1D1; (2)求证:AB1⊥面A1CD; (3)若AB1=3,求直线AC与平面A1CD所成的角. ●案例探究 [例 > 题目详情
题目所在试卷参考答案:

参考答案

难点磁场

1.(1)证明:∵A1C1=B1C1D1A1B1的中点,∴C1D1A1B1D1

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1,∴C1D1⊥平面A1B1BA

AB1平面A1ABB1,∴AB1C1D1.

(2)证明:连结D1D,∵DAB中点,∴DD1CC1,∴C1D1CD,由(1)得CDAB1,又∵C1D1⊥平面A1ABB1C1BAB1,由三垂线定理得BD1AB1

又∵A1DD1B,∴AB1A1DCDA1D=D,∴AB1⊥平面A1CD.

(3)解:由(2)AB1⊥平面A1CDO,连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角,∵AB1=3,AC=A1C1=2,∴AO=1,∴sinOCA=

∴∠OCA=.

歼灭难点训练

一、1.解析:如图,设A1C1B1D1=O1,∵B1D1A1O1B1D1AA1,∴B1D1⊥平面AA1O1,故平面AA1O1AB1D1,交线为AO1,在面AA1O1内过A1A1HAO1H,则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离,在Rt△A1O1A中,A1O1=AO1=3,由A1O1.A1A=h.AO1,可得A1H=.

答案:C 

2.解析:如图,在l上任取一点P,过P分别在αβ内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A,过AACl,垂足为C,则ACβ,过CCBb′交b′于B,连AB,由三垂线定理知ABb′,

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.

答案:C

二、3.解析:①是假命题,直线XYZ位于正方体的三条共点棱时为反例,②③是真命题,④是假命题,平面XYZ位于正方体的三个共点侧面时为反例.

答案:②③

4.④

三、5.证明:(1)∵PA⊥底面ABCD,∴ADPD在平面ABCD内的射影,

CD平面ABCDCDAD,∴CDPD.

(2)取CD中点G,连EGFG

EF分别是ABPC的中点,∴EGADFGPD

∴平面EFG∥平面PAD,故EF∥平面PAD

(3)解:当平面PCD与平面ABCD成45°角时,直线EF⊥面PCD

证明:GCD中点,则EGCD,由(1)知FGCD,故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°,从而得∠ADP=45°,AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

FPC的中点,∴EFPC,由CDEGCDFG,得CD⊥平面EFGCDEFEFCD,故EF⊥平面PCD.

6.(1)证明:

同理EFFG,∴EFGH是平行四边形

A-BCD是正三棱锥,∴A在底面上的射影O是△BCD的中心,

DOBC,∴ADBC

HGEH,四边形EFGH是矩形.

(2)作CPADP点,连结BP,∵ADBC,∴AD⊥面BCP

HGAD,∴HG⊥面BCPHGEFGH.面BCP⊥面EFGH

在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,∴AP=a.

7.(1)证明:连结EMMF,∵ME分别是正三棱柱的棱ABAB1的中点,

BB1ME,又BB1平面EFM,∴BB1∥平面EFM.

(2)证明:取BC的中点N,连结AN由正三棱柱得:ANBC

BFFC=1∶3,∴FBN的中点,故MFAN

MFBC,而BCBB1BB1ME.

MEBC,由于MFME=M,∴BC⊥平面EFM

EF平面EFM,∴BCEF.

(3)解:取B1C1的中点O,连结A1O知,A1O⊥面BCC1B1,由点OB1D的垂线OQ,垂足为Q,连结A1Q,由三垂线定理,A1QB1D,故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角,易得∠A1QO=arctan.

8.(1)证明:连结A1C1ACACBD交于点O,连结C1O

∵四边形ABCD是菱形,∴ACBDBC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1C1C是公共边,∴△C1BC≌△C1DC,∴C1B=C1D

DO=OB,∴C1OBD,但ACBDACC1O=O

BD⊥平面AC1,又C1C平面AC1,∴C1CBD.

 (2)解:由(1)知ACBDC1OBD,∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.

在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60°,∴C1B2=22+()2-2×2××cos60°=.

∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.

C1HOC,垂足为H,则HOC中点且OH=,∴cosC1OC=

(3)解:由(1)知BD⊥平面AC1,∵A1O平面AC1,∴BDA1C,当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同理可证BC1A1C,又∵BDBC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.