解题必须有思想的指导,也就是说,数学解题的基本方法是具有思想性的. 数学的思想是数学基本方法的灵魂.在数学复习中,有意识地揭示这些数学基本方法中所隐含的数学思想, 在数学学习活动中形成一些数学的观点;在数学知识结构的形成、完善过程中,有意识地用数学的观点去观察、分析数学问题,不断地获取、积累、深化这些数学的观点,使这些数学的观点能够在数学思维中升华为数学意识,从而就能从根本上提高思维能力, 提升思维层次,提高数学能力,这是数学学习的有效方法之一,也是数学学习的目的.例1.已知 , ,求 的值.分析(1) ,,在公式中是联系在一起的,由此,我们可以下面的解法.解法(1) ∵ ,∴ ===8.分析(2) 显然由和要分别解出的值是不可能的,但是,我们可以利用和消去中的变元,从而得的值,也就是说,消元就是解这个问题的指导思想,而且, 消元在代数式的求值中具有一般的指导意义.解法(2) ∵ , ,∴ , ,∴ = = = =8.例2. 设,求证:. 证明方法(一): == (1)>故成立.证明方法(二)==∴ ==故成立.问题: ①表达式(1)是如何冒出来的? ②证明方法(一)与证明方法(二)有什么关系?例3.化简:.分析: 这是一个极容易的化简题, 学生很可能盲目地获得结果.我们要问: 解本题的指导思想是什么? 先看下面两个解法:解法(一): 原式=====1解法(二): 原式===1说明: 证明方法(一)中将被化简式的表达形式与公式挂钩不容易, 因此,这一种方法的技巧性较强.证明方法(二)的指导思想是:“消元”. 我们又要问:消元的方法是什么? 回答是: ① 减少三角函数名称,② 减少角的表达形式.由证明方法(二)的指导思想还可以获得以下证明方法:解法(三) 原式消元成只含的表达式而被化简.原式= ==1解法(四) 原式消元成只含的表达式而被化简.原式= = =1例4.已知圆,直线过定点A (1,0).(1)若与圆相切,求的方程; (2)若与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又与的交点为N,判断是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.(1) 解:①若直线的斜率不存在,即直线是,符合题意. ②若直线斜率存在,设直线为,即.由题意知,圆心(3,4)到已知直线的距离等于半径2,即: ,解之得 . 所求直线方程是,。 (2) 解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为由 得. 又直线CM与垂直,由 得. ∴ 为定值. 故是定值,且为6. 解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为.由 得. 再由 得.∴ 得. 以下同解法一.解法三:用几何法,如图所示,△AMC∽△ABN,则,可得,是定值.说明: 显然, 由于应用了平面几何知识, 解法(三)比解法(一)、解法(二)简洁.例5. 双曲线的离心率为,A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点,过点F的直线交双曲线的右支于P、Q两点,交y轴于R点,AP、AQ分别交右准线于M、N两点.(1) 若,求直线的斜率;(2) 证明:M、N两点的纵坐标之积为.解: (1)解:设,∵ 双曲线的离心率为,∴ ,双曲线方程为,∵ , ∴,∵ 直线为, ∴ ,∵ 点Q是双曲线上一点, ∴ ,整理得, 解得.(2)证明:设由题设可知:直线的方程为 ,直线的方程为. ∴ ,∴ ,由得∴ ,,∴ .(k不存在要作特殊处理)例6. (扬州市2008届高三第二次调研测试) 已知圆C:,直线,且直线与圆C交于,点满足.(1) 当时,求的值;(2) 若,求的取值范围.解:(1)当时,点在圆上,故当且仅当直线过圆心时满足,∵ 圆心的坐标为(1,1),∴ .设,由 消去可得,,, ,∵ , ∴ ,∴ , , 即 ,∴ ,方法(1) 对进行整理,方法(2) 对进行整理,令, 则函数的图象与轴在上有公共点,若,则,故不可取.故∴ 或或或或显然, 方法(1)和(2)不易求解.方法(3) 由得, ① 令 ()∴ , , ,, ∴ 2<, 解得,或② 令 ,则∴ 在上为单调减函数,∴ ∵ =∴ 2,2, 解得,或例7.苏、锡、常、镇四市2007年第二次模拟考试题(题20)已知点都在椭圆()上,分别过两个焦点,当时,有成立.(1)求此椭圆的离心率;(2)设,,当点A在椭圆上运动时,求证: 始终是定植.分析: 本题是一个求值的问题. 在高中数学中, 求值的一般方法是:一是给出未知量的方程,解这个方程得值,题(1)可用这一思想;二是给出未知量的函数表达式,对表达式消元得值,题(2)可用这一思想.题(2)给出未知量的函数表达式的方法有两种:(1) 解: 当时,,∴ , ,∴ .由椭圆的定义,得, ∴ , 在直角三角形中,∵ ,∴ ∴.(2) 解:由可知,, 故椭圆的方程可化为,焦点为.设,,.方法① .当直线的斜率存在时,方法(1)直线的方程为,代入椭圆方程,得,∴ , , ∵ , ∴ , ,同理可得, , ∴ +,∴ . 方法(2)直线的方程为,代入椭圆方程,得-,.∵ , ∴ , ,,∴ , 同理可得, , ∴ +=..当直线的斜率不存在时,, .综上所述, 是定值. 方法② ∵ ,, ∴ ,, ∴ ∴ 两式相减可得, , (∵ , .同理可得, , ∴..当直线的斜率不存在时,, .综上所述, 是定值.例8.(宿迁市2007届高三年级第四次考试)21题由原点O向曲线引切线,切点异于点O,再由点引此曲线的切线,切点异于点,如此继续下去,得到点列.(1) 求;(2) 求证数列为等比数列.(1) ∵, ∴ ∴ 过原点O, 切点为的切线方程为,∴ 消去得, ∵ ∴ .(2) 证明: 设过点的直线与曲线切于点,则切线方程为∴ ∵ , ∴ ∴ , ∵, ∴ ,∴数列是以为首项,为公比的等比数列.