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    江苏省沛县2009年高考数学全真模拟试卷

                                              09.1   

    注意：本试卷分必考和加试两部分。必考内容满分160分，答卷时间120分钟；选考内容满分40分，答卷时间30分钟。

    第Ⅰ部分  必考内容

    （满分160分，答卷时间120分钟）

    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

    1． 已知，则实数a的取值范围是           

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    2． 与向量同方向的单位向量是            

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    3． 已知复数满足，则复数=        

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    4． 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，这五个数的标准差是    

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    5． 某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为       

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    6． 函数在区间上的最大值是      

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    7． 椭圆内有一点，F为右焦点，椭圆上的点M使得的值最小，则点M的坐标为       

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    8． 以下伪代码：

    Read  x

    If  x≤2  Then 

      y←2x－3

    Else

      y←log2x

    End  If

    Print  y

    表示的函数表达式是   

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    9． 已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab．请针对椭圆，求解下列问题：若m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆内的概率       

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    10．已知某个几何体的三视图如下

    （主视图的弧线是半圆），根据

    图中标出的尺寸（单位：cm），

    可得这个几何体的体积是    .

     

     

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    11．如图，△是等腰直角三角形，,以  

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    为直角边作等腰直角三角形△，再以为直角边作

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    等腰直角三角形△，如此继续下去得等腰直角三角形

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    △……．则△的面积为        ．

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    12．函数在区间上与直线只有一个公共点，且截直线所得的弦长为，则满足条件的一组参数和的值可以是         .

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    13．规定符号 “ * ”表示一种运算,即是正实数,已知.则函数的取值范围是___     __.

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    14．函数，若（其中、均大于２），则的最小值为      ▲   

    15．（本小题满分14分）

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    二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    （ω＞0）

    （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值

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    （2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    16．（本小题满分14分）

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           已知：数列满足

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           （1）求数列的通项；

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           （2）设求数列的前n项和Sn.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    17．（本小题满分15分）

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               将圆先向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A，B两点，若在⊙O上存在点C，使，，求直线l的方程及对应的点C的坐标．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18．（本小题满分15分）

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               如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

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    19．（本小题满分16分）

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           如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．

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    （1）求的表达式；

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    （2）当为何值时，取得最大值？

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    （3）当取得最大值时，在线段AC上取一点M，使得

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    求证：∥平面.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    20．（本小题满分16分）

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           过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.

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    （1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；

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    （2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.

     

     

     

    第Ⅱ部分  加试内容

    （满分40分，答卷时间30分钟）

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    一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    1．求曲线与轴所围成的图形的面积．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为

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    1

    2

    3

    4

    5

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    0.4

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    0.2

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    0.2

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    0.1

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    0.1

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    商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

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    （1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

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    （2）求的分布列及期望．

     

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    二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    3．（几何证明选讲）

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    如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF?EC.

    (1)求证：ÐP=ÐEDF；

    (2)求证：CE?EB=EF?EP；

    (3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    4．（矩阵与变换）

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    已知曲线：，将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程。

     

     

     

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    5．（坐标系与参数方程）

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    已知直线经过点,倾斜角，

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    （1）写出直线的参数方程;

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    （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    6．（不等式选讲）

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           设a、b、c均为实数，求证：++≥++.

     

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    第Ⅰ部分  必考内容

    一、填空题：

    1．                                                      2．    3．   4．     

    5． 192       6．       7．   8．    

    9．         10． 640＋80π cm3    11． 128   12．     

    13．     14．

    二、解答题：

    15．（本小题满分14分）

    解  （1），           .

            (2) ω最大值为.

    16．（本小题满分14分）

    解  （1）

    验证n=1时也满足上式：

    （2）

    17．（本小题满分15分）

    解  圆化成标准方程为 ，

    先向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得⊙O方程为

         

    由题意可得，，

    ∴ ，直线l：

    由 ，化简整理得（*）

    设，则是方程（*）的两个实数根

    ∴ ， 

    因为点C在圆上，所以

    此时，（*）式中的 

    所求的直线l的方程为，对应的C点的坐标为（－1，2）；

    或直线l的方程为，对应的C点的坐标为（1，－2）

    18．（本小题满分15分）

    解  如图，连结，由题意知，，，

         

    ∴ 在中，由余弦定理，可得

    ∴，而，∴是等腰三角形，

    ∴，

     

    又     ∴ 是等边三角形，

    ∴．                               

    因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．

    答：乙船每小时航行海里．

    19．（本小题满分16分）

    解  （1）由折起的过程可知，

    PE⊥平面ABC，，

    ,

    ,

    V(x)=().

    （2），所以时，，V(x)单调递增；时，，V(x)单调递减.因此x=6时，V(x)取得最大值.

    （3），，

    ，∥

    又在平面外，平面

    ∥平面。

    20．（本小题满分16分）

    解  （1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，

    ∵被轴平分，∴.即.

    即，∴.

    于是.∵，即.

    （2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.

    证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.

    据椭圆第二定义：∵

    于是即.∴，又均为锐角，∴，∴.

    ∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.

     

     

     

    第Ⅱ部分  加试内容

    一、解答题：

    1．  解  函数的零点：，，.

    又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，

    所以所求面积为

    2． 解  （1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

    知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

    ，．

    （2）的可能取值为元，元，元．

    ，，

    ．

    的分布列为

    （元）．

    二、解答题：

    3． 解 （1）∵DE2=EF?EC，

              ∴DE : CE=EF: ED．

              ∵ÐDEF是公共角，

              ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

              ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

              ∴ÐP=ÐEDF．

    （2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

         ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

         ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

    （3）∵DE2=EF?EC，DE=6，EF= 4，   ∴EC=9．

             ∵CE : BE=3 : 2，    ∴BE=6．

             ∵CE?EB=EF?EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=．

             ∴PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．

             由切割线定理得：PA2=PB?PC，    ∴PA2=×．∴PA=．

    4． 解  由题设条件，，

    ，即有，

    解得，代入曲线的方程为。

    所以将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线是。

    5．  解  （1）直线的参数方程为，即．

       （2）把直线代入，

    得，，
    则点到两点的距离之积为．

    6． 证明：  ∵a、b、c均为实数，

    ∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；

    （＋）≥≥，当b=c时等号成立；

    （＋）≥≥．

    三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.

     

     


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