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    江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题

    一、

    YCY

    1、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为                      

    2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出                 人．

     

     

     

     

     

     

     

     

    3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：

    ①若，则；               ②若，则；

    ③若上有两个点到的距离相等，则；  ④若，则。

       其中正确命题的序号是          

    4、=     

    5、已知点A、B、C满足，，，则的值是_____________.

    6、若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第          项．

    7、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的  中点，则直线被球截得的线段长为          

    8、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是             

    9、实数满足，且，则           

    10、已知直线和直线与两坐标轴；围成一个   四边形，则使得这个四边形面积最小的值为       

    11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是      

    12、已知O为坐标原点, 集合

    且          

    13、已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于 的方程有四个根，则得取值范围是            

    14、已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法

      （1）                         

    （2）时，有最小值，无最大值

    （3）恒成立        

    （4）,, 则的取值范围为（-

    其中正确的是                  （把你认为所有正确的命题的序号都填上）

    二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．

          （1）求tanα的值；

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          （2）求cos()的值．

     

     

     

     

     

     

     

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    16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的

    中点．

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    （1）求证：//平面；

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    （2）求证：；

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    （3）求三棱锥的体积．

     

     

     

     

     

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    17、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、

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    两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.

     

     

     

     

     

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    18、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

    （1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

    （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明

     

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    19、已知数列，中，，且是函数

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    的一个极值点.

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    （1）求数列的通项公式；

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    （2） 若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点 的切线始终与平行（O 为原点），求证：当 时，不等式

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    对任意都成立.

     

     

     

     

     

     

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    20、已知其中是自然常数，

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    （1）讨论时, 的单调性、极值;

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    （2）求证：在（1）的条件下，

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    （3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

     

     

     

     

    理科加试题

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    1、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.

      (1) 求油罐被引爆的概率.

      (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望

     

     

     

     

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    2、已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

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       （1）求、b、c的值

       （2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

     

     

     

     

     

     

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    3、选修4－2：矩阵与变换

    在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积

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    这里M=  N=  

     

     

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    4、选修4－4：坐标系与参数方程

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    和的极坐标方程分别为．

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    （1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；

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    （2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．

     

     

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    一、填空题

    1、        2、40    3、②  ④）    4、-1     5、    6、3

    7、       8、   9、1   10、    11、    12、46    13、

    14、（3）（4）

    二、解答题

    15、解：（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

    故a?b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分

    由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……………………………………………6分

    ∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分

    （2）∵α∈（），∴．

    由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．

    ∴，…………………………………………………………12分

    cos()＝

                  ＝ ＝． ………………………14分

     

    16、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

                

    （2）

    （3）

         且 

    ，

    ∴   即    

    =

    = 

     

    17、解：由已知圆的方程为，

    按平移得到.

    ∵∴.

    即.                                                      

    又，且，∴.∴.

    设， 的中点为D.

    由，则，又.

    ∴到的距离等于.

    即，           ∴.

    ∴直线的方程为：或.      

     

    18、（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x?AE?cos60°y2＝x2＋AE2－x?AE,①

    又S△ADE＝ S△ABC＝a2＝x?AE?sin60°x?AE＝2.②

    ②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）。。。.6分

    （2）如果DE是水管y＝≥,

    当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.

    如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知

    函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，

    故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5.  ∴y max＝.

    即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.。。。。。。。。。。。8分

     

     

     

     

    19、解：（1）由

    是首项为，公比为的等比数列

    当时，， 

    所以                                             

    （2）由得：

    (作差证明)

      

    综上所述当 时，不等式对任意都成立.

     

      20．解．（1）   

    当时，，此时为单调递减

    当时，，此时为单调递增

    的极小值为                             

    （2）的极小值，即在的最小值为1

        令

    又    当时

    在上单调递减

                 

    当时，

    （3）假设存在实数，使有最小值3，

    ①当时，由于，则

    函数是上的增函数

    解得（舍去）                        

    ②当时，则当时，

    此时是减函数

    当时，，此时是增函数

    解得                                       

     

     

    理科加试题

    1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C

    ∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率为

    （2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， 

           P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C    ，

    P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C      

    ξ

    2

    3

    4

    5

            故ξ的分布列为：

                                                                                             

    Eξ=2×+3×+4×+5×= 

     

    2、解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

    则，

    ∴函数f（x）的解析式为

    （2）由得

    ∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（

    由定积分的几何意义知：

     

    3、解：在矩阵N=  的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形，在矩阵M=  的作用下，一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此

    △ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1

     

    4、解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

    （1），，由得．

    所以．

    即为的直角坐标方程．

    同理为的直角坐标方程．

    （2）由解得．

    即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．


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