2009年福建省宁德市普通高中毕业班质量检查
数学（理科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答案题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面的清楚，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径。
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
则
=
A．
B．
C．
D．R
2．
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在等比数列
中，若
，则该数列的前6项和为
A．56 B．
4．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结
果为0时，输入的
的值为
A．―1或1 B．―2或0
C．―2或1 D．―1或0
5．若抛物线
的焦点与双曲线
的
右焦点重合，则
的值为
A．3 B．
D．
6．设
为直线
的方向向量，
为平面
的法向量，
则
是
的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
7．右图是一个多面体的三视图，则其全面积为
A．
B．
C．
D．
r
8．设函数
的部分图象
如图所示，直线
是它的一条对称轴，则函数
的解析式为
A．
B．
C．
D．
9．函数是定义域为R的奇函数，且
时，
，则函数的零点个数是
A．1
B．
10．已知四边形
是边长为1的正方形，
，点
为
内（含边界）的动点，设
，则
的最大值等于
A．1
B．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。
11．计算：
___________
12．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在
内的人数为_____________。
13．
的展开式中各项系数和为64，则展开式的常数项为____________。
14．直线
与轴、 
轴分别交于
、
两点，
为原点，在
中随机取一点
，则取出的点满足
的概率为_______________。
15．已知
，数列
的各项都为整数，其前项和为
，若点
在函数
或
的图象上，且当为偶数时，
则
=______________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分13分）
袋中装有标号分别为1、2、3、4、5、6的卡片各1张，从中任取两张卡片，其标号分别记为、（其中
）。
（I）求这两张卡片的标号之和为偶数的概率；
（Ⅱ）设
，求随机变量
的概率分布列与数学期望。
17．（本小题满分13分）
如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面，
，
、
分别为
、
的中点。
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）求平面与平面
所成的锐二面角大小的余弦值。
18．（本小题满分13分）
如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠
墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即
），现有可供建造第三面围墙的材料
长均大于
角形露天活动室尽可能大，记
，问当
为多少时，所
建造的三角形露天活动室的面积最大？
19．（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
，离心率为
。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线交于、
两点，试问：在轴上是否存在一个定点
，
使
为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数
的图象过点
,且在该点处切线的倾斜角为45°
（I）使用表示
；
（Ⅱ）若在
上为单调递增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）当
时，设
，若存在
，使得
，试求
的取值范围。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题记分。
（1）（本小题满分7分）选修4―2；矩阵与变换选做题
直角坐标系
中，点（2，-2）在矩阵
对应变换作用下得到点（-2，4），
曲线
在矩阵对应变换作用下得到曲线
，求曲线的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4―4：坐标系与参数方程选做题
在极坐标系中，圆
的方程为
，直线
，求圆心到
直线的距离。
（3）（本小题满分7分）选修4―5：不等式选讲选做题
已知正实数
，
，
满足
，求
的最小值。
2009年宁德市普通高中毕业班质量检查
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细
则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。
11．
12．60 13．-540 14．
15．820
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．本小题主要考察概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算
能力。满分13分。
（I）
、
同奇的取法有
种，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）
，
??????????????????????? 10分
其分布列为
1
2
3
4
5
????????????????????????????????????? 13分
17．本小题主要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小，体积的计算等知识，考察空间
想象能力、逻辑思维能力和运算能力，满分13分。
（I）连结BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
…………………………2分
又
平面
，
，…………………………3分
，
平面PAD。……………………4分
（Ⅱ）
，
且
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
??????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系
，
则由（I）知平面
的一个法向量为
，
设平面PBC的法向量为
，
由
取
得
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
?????????????????????????????????????????????????? 12分
平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
??????????????????????? 13分
证法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又
平面
又
平面
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
就是平面与平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分
在
中，
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
18．本小题主要考察两角和差公式，二倍角公式，同角三角函数关系，解斜三角形的基本知
识以及推理能力、运算能力和应用能力，满分13分。
解：在
中，
????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
化简得：
???????????????????????????????????????????????????????????? 4分
所以
????????????????????????? 6分
???????????????????? 8分
即
???????????????????????????????????????????????????????? 10分
所以当
即
时，
=
???????????????????????????????????? 12分
答：当
时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。?????????????????????????? 13分
19．本题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性
定量的基本方法，考查运算能力、探究能力和综合解题能力，满分13分。
解：（I）设椭圆E的方程为
由已知得：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
椭圆E的方程为
??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点
，又设
，则：
????????????????????????????????????????????????? 5分
①当直线
的斜率存在时，设直线的方程为：
，则
由
得
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
所以
????????????????????????????????????????????? 9分
对于任意的
值，
为定值，
所以
，得
，
所以
；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点
存在，起坐标为
。????????????????????????????? 13分
法二：假设存在符合条件的点，又设
则：
=
????????????????????????????????????????????????? 5分
①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为
，
由
得
?????????????????????????????????????????????????????????? 7分
????????????????????????????????????????????????? 9分
设
则
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②当直线的斜率为0时，直线
，由
得：
综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为???????????????????????????????? 13分
20．本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识，考查化归的数学思想方法以及
推理和运算能力。考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分。
解：（I）
?????????????????????????????????????????? 2分
由已知得：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）方法一：由（I）得
在
上为单调增函数，则
恒成立，
即
对
恒成立。
即
对恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分
令
，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9
方法二：同方法一。
令
当
时
，
在单调递增，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）方法一：
?????????????????????????????????????????????????????? 10分
当
时，
，
当
时，
，??????????????????????????????????????????????? 12分
…
根据题意可知
??????????????????????????????????????? 14分
方法二：同方法一，
???????????????????????????????????????? 10分
当时，
当时，
???????????????????????????????????????????????????? 12分
…
根据题意可知??????????????????????????????????????? 14分
方法三：设
是数列
中的最大项，则
??????????????????????????? 12分
为最大项，
所以?????????????????????????????????????????????????? 14分
以下同上
21．本题考查，本题满分14分
（I）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化
归与转化思想，满分7分。
解：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
，即
???????????????????????????????????????????????????????? 4分
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
曲线
的方程为
??????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）本题主要考查直线和圆的极坐标方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，满分7
分。
解：
即
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
圆心的坐标为
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，即
???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
圆心到直线的距离为1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想，满分7分
解：
????????????????????????????????????????? 3分
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
当且仅当
即
时取到“=”号，
当时
的最小值为
??????????????????????????????? 7分
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com