四川师大附中高2006届高三数学总复习（三）

§3. 数 列  知识要点

等差数列

等比数列

定义

递推公式

；

；

通项公式

（）

中项

（）

（）

前项和

重要性质

1. ⑴等差、等比数列：

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2()

③(为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②(，)^①

注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.

ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.

iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

③(为非零常数).

④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.

⑷数列{}的前项和与通项的关系：

[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{}前n项和  →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. 

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k²倍；

②若等差数列的项数为2，则；

③若等差数列的项数为，则，且，

 .     

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =   

②   

③

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….

4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

5. 数列常见的几种形式：

⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.

⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.

①转化等差，等比：.

②选代法：

.

③用特征方程求解：.

④由选代法推导结果：.

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.