1. 设I是△ABC的内心，∠A,∠B,∠C的交平分线分别交对边于A',B',C'点，求证: 

1

< 

AI?BI?CI

≤

8

4

AA'?BB'?CC'

27

2. 设n>6是一个整数，a₁,a₂,...,a_k 都是小于n的正整数并且与n互素。

如果a₂-a₁=a₃-a₂=... =a_k-a_k-1>,

求证，n是质数或者是2的幂次方。

3. 试找出最小的整数n使得每一个S的n元子集都包含5个两两互素的数。

4. 设G是一个有k条边的连通图，试证明可是对这些边编号1,2,...,k使得对于每个属于两条或两条以上的边的顶点， 从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。

注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。 每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v₀,v₁,..., v_m=y使得v_i,v_i+1(0<=i<m)之间都有一条边，则称这个图是连通的。

5. X是△ABC内部中的一个点，试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30^o。

6. 任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列x₀,x₁,x₂,... 

使得对任何x≠y都有|x_i-x_j||i-j|^a>=1。 

注：一个无限实数序列x₀,x₁,x₂,... 是有界的如果存在一个常数C使得|x_i|<C对任何i成立。