广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题(13)

数学

一.选择题：

1.设全集,集合,则=

A.        B.         C.         D. 

2.若x,y∈R，为虚数单位,且,则复数在复平面内所对应的点在

A. 第一象限           B.  第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

3.一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的

正三角形，那么这个几何体的侧面积为

   A．         B．      C．      D．

4.首项为的等差数列,从第项开始为正,则公差的取值范围是

A.           B.            C.        D. 

5.设双曲线的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为D，点

为D内的一个动点，则目标函数的最小值为

    A．-2                B．-         C．0             D．

6.函数（），对任意有，且，那么

等于

A．                B．           C．              D．

7.下列命题:①；②；③ ;④“”的充要条件

是“,或”. 中,其中正确命题的个数是

A. 0                  B. 1                C. 2                D. 3

8.设，则关于的方程在上有两个零点的概率为

A.                  B.                C.                D. 

二.填空题：

9.已知函数的图像经过点，则实数的值        .

10.的展开式中的常数项为               ．

11.在△中，所对的边分别为，且，则∠的大小为        ．

12.如下图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的的值,若要使输入的的值与输出的的值相等,则这样的的值的集合为            .

选做题: 13～15题，考生只能从中选做两题　

13.极坐标系中，曲线和相交于点，则线段的长度为        ．

14.已知函数，若对任意实数都有成立，则实数的取值范围为           ．

15.如图,AC为⊙O的直径，弦于点，，，则的值为      .

三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(13分)设向量，向量，．

(1)若向量，求的值；

(2)求的最大值及此时的值．

17(13分)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:

周销售量（单位：吨）

2

3

4

频数

20

50

30

(1)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;

(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.

18.(12分) 已知函数

   (1)当时，求函数在点处的切线方程及的单调区间；

   (2)求函数f(x)的极值．

19.(14分)正三棱柱的所有棱长均为２，P

是侧棱上任意一点．

(1)求正三棱柱的体积；

(2)判断直线与平面是否垂直，请证明你

的结论；

(3)当时，求二面角的余弦值．  

20.(14分)已知曲线上任一点到直线与点的距离相等．

(1)求曲线的方程；

(2)设直线与曲线C交于点A,B，问在直线上是否存在与无关的定

M，使得被直线平分，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

21.(14分)已知点在直线上，点

……，顺次为轴上的点,其中，对

于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求；（用和的代数式表示）

(3)设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论；

DAAC  BACB    2.由,解得,所以对应的点在第一象限．

3.几何体为圆锥，母线长为，底面半径为，则侧面积为．

4.，解得             5.可行域三角形的三个顶点坐标为

,将这三点代入即可求得Z的最小值．

6.由得：，即1是的周期，而为奇函数，则

7.仅②③正确，③是“或”; ④的充要条件是且. 

8.由，即，再通过画图，利用积分求出合乎条件的区域面积为，而所有可能的区域面积为1，由几何概型的概率为其面积的比值即可得出．

题号

9

10

11

12

13

14

15

答案

9.因为，则，而,所以.10.由杨辉三角或二项展开式即得结论.

11.由正弦定理得：，而，两式相乘得，从而

12.依题意得,或,或,解得,或,.

13.将其化为直角坐标方程为，和，代入得：

则

14．由题设 对任意实数均成立，由于，则

15.由射影定理得,，

则cos∠ACB=sin∠A＝sin∠D=.

16.解:(1)由于，则，   ………………3分

显然，两边同时除以得，；    ……………6分

（2）由于，   ………………8分

即，                

∴    ………………10分

由于，则，        ………………11分

则，即时，最大值为．  ………………13分

说明：本题第（1）问可以利用解析几何两直线垂直的条件求出，第（2）问可以结合平面几何知识得出．

17. 解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3.  ……3分

（2）的可能值为8，10，12，14，16，               ……4分

P（=8）=0.2²=0.04,    P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,     ……6分

P（=12）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37,   P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,  

P（=16）=0.3²=0.09.                             ……9分

8

10

12

14

16

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

则的分布列为

……11分

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）  ……13分

说明：第（1）问每个频率1分，第（2）问一种情况的概率1分，分布列正确2分，期望2分．

18.解：（1）当a = -1时，     ……1分∴

函数在点x = 1处的切线方程为y－1= 3（x－1），即y =3x -2      ……3分

当 时，，∴函数在（0，+∞）上是增函数，

而的定义域为，则函数的单调增区间为，不存在递减区间．…5分

（2）函数的定义域为（0，+∞），，……6分

①当时，在（0，+∞）上是增函数；函数无极值……8分

②当时，由，得，            ……9分

由，                     ……10分

∴当时，有极小值   ……11分

综上，当时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极小值，无极大值 …12分

19.（1）     ……3分

（2）建立如图空间坐标系，设，   ……4分

则的坐标分别为       ……6分

∴，

∴不垂直

∴直线不可能与平面垂直 ……8分

（3），由，得

即　

又　

∴是面的法向量    …10分

设面的法向量为，

由得    ……12分                                         

设二面角的大小为，则

∴二面角的余弦值大小为           ……14分

说明：有些结果由于法向量的方向问题，出现余弦值为负值者扣1分．

20.解：依题意，曲线为抛物线，且点为抛物线的焦点，为其准线， 2分

则抛物线形式为，由，得 ，     ……4分

则曲线的方程为．             ……6分

（2）设，，假设存在点满足条件，则 ……8分

即，

即       ①     ……9分

而， ，                    ②

整理得               

即为：      ③    ……11分

由得：，

则，，    ④                  ……12分

将④代入③得：，即．  ……13分

因此，存在点满足题意．                                        ……14分

21. 解：（1）由于点在直线上，

则，     ……1分    因此，所以数列是等差数列   ……2分

（2）由已知有，那么                 ……3分

同理以上两式相减，得，       ……4分                                                                                          

∴成等差数列；也成等差数列，                 

∴，                          ……5分

         ……6分

点，则，，

而∴  ……8分

（3）由(1)得:，    ……9分

则   

而，则，               ……11分

即                                

∴

∴ 

∴                    ……12分

由于 ，而,

则, 从而  ,      ……13分  

同理:

……

以上个不等式相加得：

即，从而         …14分

说明：（1）也可由数学归纳法证明  ；

（2）本题也可以求出的通项公式，由两边同时除以，

令，则

利用错位相减法可求出：

则，

则，时，也符合上式，

则对任意正整数都成立．

下同上述解法