东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试
数 学(理科)
本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，试卷满分150分，
做题时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分。共60分，在每小题的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。请将正确选项填涂在答题卡上)
1．复数
，则
A．1 B．
D．5
2．已知集合
，
，则
A．
B．(1，3) C．(1，
) D．(3，)
3．已知
、
为两条直线，、
为两个平面，下列四个命题①∥，∥
∥；②
∥； ③∥，∥
∥；④
∥，其中不正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在
中，、分别是角
、
所对的边，条件“<”是使“
>
”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知数列
满足
，则
A．1024 B．
6．过点P(2，3)向圆上
作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线方程为
A．
B．
C．
D．
7．将函数
的图象经过下列哪种变换可以得到函数
的图象
A．先向左平移
个单位，然后再沿
轴将横坐标压缩到原来的
倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
C．先向左平移
个单位，然后再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
8．已知实数、
满足
，则
的最大值为
A．1 B．
9．四张卡片上分别标有数字“
片可组成不同的四位数的个数为
A．6 B．
10．函数
在
处连续,则=
A．0 B．
11．已知
是
上的可导函数，对于任意的正实数
，都有函数
在其定义域内为减函数，则函数的图象可能为下图中
12．定长为
的线段
的两端点都在双曲线
的右支上，则中点
的横坐标的最小值为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分。共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上)
13．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 .
14．已知=(3，2)，=(一1，2)，
上，则实数
.
15．
,则
.
16．已知
，且
，则关于三个数：
；
；
的大小关系说法：①最大；②最小；③最小；④与大小不能确定，其中正确的有
(将你认为正确说法前面的序号填上)．
三、解答题(本大题共6小题。共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数的值域．
18．(本小题满分12分)
某次摇奖活动，摇奖机内有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝、黑的4种玻璃球各4个，每次按下摇奖机开关，可随机摇出10个球，按同色球的数目由多到少顺序产生一个四位号码，例如：由3个红球，1个黄球，2个蓝球，4个黑球产生的号码为4321；若是2个红球，3个黄球，3个蓝球，2个黑球，则号码为3322，兑奖规则如下：一等奖号码为4420，可获奖金88元；二等奖号码为4411，可获奖金8元；三等奖号码为4330，可获奖金l元；其余号码则需付费2元．
(1)求摇奖一次中奖的概率；
(2)求摇奖一次庄家获利金额的期望值．(最终结果均用最简分数表示)
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形， 
，且
，侧面 
底面，
是等边三角形．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的大小．
20．(本小题满分12分)
已知
为坐标原点，点、分别在轴、轴上运动，且
，动点
满足
，设点的轨迹为曲线
，定点
，直线
交曲线于另外一点
．
(1)求曲线的方程；
(2)求
面积的最大值．
21．(本小题满分12分)
设
为数列的前
项之积，满足
．
(1)设
，证明数列
是等差数列，并求
和
；
(2)设
求证：
．
22．(本小题满分12分)
设
(1)判断函数的单调性；
(2)是否存在实数、使得关于的不等式
在(0，)上恒成立，若存在，
求出的取值范围，若不存在，试说明理由；
(3)求证：
(其中
为自然对数的底数).
东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试
说明：
一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如
果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加分．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题(每小题5分，满分60分)
1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．A 12．C
简答与提示：
1．
，故选C.
2．∵
∴
，故选D．
3．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D．
4．
，故选C．
5．利用叠加法及等比数列求和公式，可求得
，故选B.
6．以
为直径的圆与圆
的公共弦即为所求，直线方程为
，故
选B．
7．
，将
的图象先向左平移
个单位得到
的图象，再沿
轴将横坐标压缩到原来的
倍(纵坐标不变)得到
的图象，故选A．
8．在点(0，一1)处目标函数取得最大值为9，故选D．
9．先在后三位中选两个位置填两个数字“
种填法，再排另两张卡片有
种排
法，再决定用数字“
个四位数，
故选B．
10．依题意
，∴
，故选B．
11．因为函数
在其定义域内为减函数，所以
恒成立，即
为减函数(切线斜率减小)，故选A．
12．
，
∵
，∴
，当A、F、B
三点共线时取得最小值，故选C．
二、填空题(每题5分．共20分}
13．3 14．
15．28 16．①③
简答与提示：
13．∵V正四面体 
，∴
.
14．∵
，∴
，∴
．
15．∵
，
∴
，∴
．
16．∵
，
∴
，
∵
，
∴
，故①③正确．
三、解答题(满分70分)
17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质．
解：(1)∵
(4分)
∴
．
(2)当
，即
时，
，
， (6分)
当
，即
，
，
∴函数
的值域为[
，1]．
(10分)
18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的
能力．
解．(1)中一等奖的概率为
，
(2分)
中二等奖的概率为
，
(4分)
中三等奖的概率为
，
(6分)
∴摇奖一次中奖的概率为
(7分)
(2) 由(1)可知，摇奖一次不中奖的概率为
(9分)
设摇奖一次庄家所获得的金额为随机变量
，则随机变量的分布列为：
∴
∴摇奖一次庄家获利金额的期望值为
元 (12分)
19．本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用．
解法一：(1)证明：
取
中点为
，连结、
，
∵△
是等边三角形，
∴
又∵侧面
底面
，
∴
底面，
∴为
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
(2)取中点
，连结
、
，
(6分)
∵
．
∴
．
又∵，
，
∴
平面
，
∴，
∴
是二面角
的平面角.
(9分)
∵，
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴二面角的大小为
(12分)
解法二：证明：(1) 取中点为，
中点为
，连结
，
∵△是等边三角形，
∴，
又∵侧面底面，
∴底面，
∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系
如图， (2分)
∵，△是等边三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2)设平面
的法向量为
∵
∴
令
，则
，∴
(8分)
设平面
的法向量为
，
∵
，
∴
，
令
，则
，∴
(10分)
∴
，
∴
，
∴二面角的大小为.
(12分)
20．本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力
解：(1)设
，则
∵
,∴
，∴
，
(3分)
又
，∴
∴曲线
的方程为
(6分)
(2)由(1)可知， (4，0)为椭圆的右焦点，设直线
方程为
，由
消去得，
，
∴
(9分)
∴
，
当
，即
时取得最大值，
此时直线方程为
.
(12分)
21．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．
解：(1)∵
，
∴
(2分)
∴
，
∵
∴
.
(4分)
∵
∴
，∴
，
∴
，
∴数列
是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴
，∴
，
∴
．
(7分)
(2)
，
∵
∴
(10分)
当
时，
，
当
时，
，
∴
.
(12分)
22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质
的方法，考查分析问题和解决问题的能力．
解：(1)∵
∴
，
(1分)
设
.
∴
，
∴
(1+z)在
上为减函数．
(3分)
∴
，
∴
，
∴函数
在
上为减函数．
(5分)
(2)
在上恒成立，
在上恒成立，
(6分)
设
，则
，
∴
，
(7分)
若
，则
时，
同步练习册答案
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