专题16 空间向量 简单几何体

一 能力培养

1,空间想象能力         2,数形结合思想         3,转化能力         4,运算能力

二 问题探讨

问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD中,

(1)求异面直线B与C所成的角的大小;

(2)求异面直线B与C之间的距离;

(3)求直线B与平面CD所成的角的大小;

(4)求证:平面BD//平面C;

(5)求证:直线A平面BD;               (6)求证:平面AB平面BD;

(7)求点到平面C的距离;              (8)求二面角C的大小.

问题2已知斜三棱柱ABCD的侧面AC

与底面垂直,,,,

且AC, A=C.

(1)求侧棱A和底面ABC所成的角的大小;

(2)求侧面AB和底面ABC所成二面角的大小;

(3)求顶点C到侧面AB的距离.

三 习题探讨

选择题

1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四

面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一

个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点

的这个正四面体的体积为

A,          B,          C,            D,

2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之

比为

A,3:2:1              B,2:3:1             C,3:6:2            D,6:8:3

3设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为1cm,

2cm,则点P到棱的距离是

A,         B,        C,        D,

4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC

的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是

A,                   B,

C,                 D,

5棱长为的正八面体的外接球的体积是

A,              B,             C,           D,

填空题

6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面

 的位置关系是                     .

7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为

2和平共处的两点,当时,线段AB的长为                   .

8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件           

时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

①AB与EF所连直线平行;         ②AB与CD所在直线异面;

③MN与BF所在直线成;       ④MN与CD所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号为        .(将所有正确的都写出)

解答题

10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿

 DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.

11如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.

(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;

(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.

问题1(1)解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)

得,,设与所成的角为,则

,又,得

所以异面直线B与C所成的角的大小为.

(2)设点M在B上,点N在C上,且MN是B与C的公垂线,令M,

N,则

由,得,解得,

所以,得,即异面直线B与C之间的距离为.

(3)解:设平面CD的法向量为,而,由,,

有,得,于是,

设与所成的角为,则

,又,有.

所以直线B与平面CD所成的角为.

(4)证明:由//C,C平面C,得//平面C,

又BD//,平面C,得BD//平面C,

而,于是平面BD//平面C.

(5)证明:A(1,0,0),(0,1,1),,,

有及,得

,,,

于是,直线A平面BD.

(6)证明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.

(7)解:可得C=C==,有

由,得,即,得

所以点到平面的距离为.

(8)解:由(3)得平面CD的法向量为=,它即为平面的法向量.

设平面的法向量为,则,

又

由,得,所以

设与所成的角为,则

所以二面角的大小为.

问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).

又由面AC面ABC,且A=C,知点,,

平面ABC的法向量.

(1),得

于是,侧棱和底面ABC所成的角的大小是.

(2)设面AB的法向量,则由

得,.于是,,又平面ABC的法向量,得

,有.

所以侧面AB和底面ABC所成二面角的大小是.

(3)从点C向面AB引垂线,D为垂足,则

所以点C到侧面AB的距离是.

习题

1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,

设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,

,,得

在中,,即,得.

则,有.选B.

温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.

2 ,选B.

3设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则

,得,有或(舍去),

所以,选B.

4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.

由对称性得,于是.

,选B.

5可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,

外接球的体积,选D.

6当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交.

7由,得

(1)当时,有,得;

(2)当时,有,得.

8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)

9将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.

10解:设的高AO交DE于点,令,

由AO=,有,

在中,,有

得.

当时,到直线BC的最小距离为6.

11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则

Q,P(0,0,1),D得,

由,有,得          ①

若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.

(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;

(ii)当时, BC上不存在点Q,使PQQD.

(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,

这时,,得,有.

又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为

而,,

由,得,解得

有,则

,则

所以二面角的正切为.