高考60天冲刺――圆锥曲线综合应用

1．点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

（1）求椭圆C的的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。

2已知在平面直角坐标系中，向量，且 .

（I）设的取值范围；

（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.

3．设A、B是椭圆3x²＋y²=λ上的两点, 点N(1,3)是线段AB的中点.

(1)确定λ的取值范围, 使直线AB存在, 并求直线AB的方程.

(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点, 求线段CD的中点M的坐标

(3)试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.

4．设是抛物线上相异两点，且，直线与轴相交于．

（Ⅰ）若到轴的距离的积为，求的值；

（Ⅱ）若为已知常数，在轴上，是否存在异于的一点，使得直线与抛物线的另一交点为，而直线与轴相交于，且有，若存在，求出点的坐标（用表示），若不存在，说明理由．

5．已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.

6．已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

7．已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且

   （Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

   （Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，

且，求△FOH的面积

8．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离

心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的

直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．

10．如图,过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

  (Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明

(Ⅱ)设直线AB的方程是x―2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

11．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围。

12．如图,过抛物线的对称轴上任

一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q

是点P关于原点的对称点．

 ⑴．设点P满足（为实数），

证明：；

⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点

的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

13．一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

14．已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

(2)    点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．

15．如图，已知E、F为平面上的两个定点 ，，且，?，（G为动点，P是HP和GF的交点）

（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与

（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．

16．已知动圆过定点，且与直线相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

17．已知若动点P满足

   （1）求动点P的轨迹方C的方程；

   （2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.

18．已知抛物线x=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p,

   （1）求a的取值范围；

   （2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；

19．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=

椭圆F以A、B为焦点且过点D，

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率

两点，且

，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。

20．已知是函数图象上一点，过点的切线与轴交于，过点作轴的垂线，垂足为 .

（1）求点坐标；

（2）若，求的面积的最大值，并求此时的值.

1．解（1）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=2，半焦距c₁=，

∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴=，

∴所求的椭圆方程为                            

（2）由已知,，设点P的坐标为，则

由已知得

则，解之得，      

由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分

（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，                                  

又∵点M在椭圆的长轴上，即        

∴当时，椭圆上的点到的距离

又   ∴当时，d取最小值              

2．解：（1）由，

    得…………………………………………………………………3分

     ∴夹角的取值范围是（）

………………………………………………………………6分

    （2）

…………………………………………………………………………………………8分

………………10分

∴当且仅当

或            …………12分

椭圆长轴

或

故所求椭圆方程为.或 …………14分

3．(1)解: 依题意,可设直线AB的方程为y=k(x－1)＋3, 代入3x²＋y²=λ, 整理得(k²＋3)x²－2k(k－3)x＋(k－3)²－λ=0 ①

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 则x₁,x₂是方程①的两个不同的根,∴△=4[λ(k²＋3)－3(k－3)²]>0.②

且x₂＋x₁= , 由N(1,3)是线段AB的中点, 得 =1 , ∴k(k－3)=k²＋3

解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12, ＋∞), ∴

直线AB的方程为y－3=－(x－1),即x＋y－4=0

(2)∵CD垂直平分AB, 直线CD的方程为y－3=x－1, 即x－y＋2=0,代入椭圆方程, 整理得

4x²＋4x＋4－λ=0  ③ 又设C(x₃,y₃),D(x₄,y₄),CD的中点C(x₀,y₀), 则x₃,x₄是方程③的两根, ∴x₃＋x₄=－1, 且x₀= (x₃＋x₄)=－, y₀ =x₀＋2 = , 即M(－, )

(3)由弦长公式可得|CD|= |x₁－x₂|= ④

将直线AB的方程x＋y－4=0,代入椭圆方程得4x2－8x＋16－λ=0  ⑤

同理可得|AB|= ?|x₁－x₂|=   ⑥

∵当λ>12时, > , ∴ |AB|<|CD|, 假设存在λ>12, 使得A、B、C、D四点共圆, 则CD必为圆的直径, 点M为圆心, 点M到直线AB的距离为

d= = = ..   ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.

|MA|²=|MB|²=d²＋ ||² = ＋ = = ||². 故当λ>12时, A、B、C、D四点均在以M为圆心, || 为半径的圆上.

4.解： （Ⅰ）∵　?＝0，则x₁x₂＋y₁y₂＝0，　　　      ……………………1分

又P、Q在抛物线上，

∴y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，

∴ ＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝－4p²，

∴ |y₁y₂|＝4p²，                       　              ……………………3分

又|y₁y₂|＝4，∴4p²＝4，p=1．　　　　　　　　　         ……………………4分

（Ⅱ）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a ,　　

       联立方程组　 ,　　　　　　　　　           ……………………5分

消去x得y²－2pmy－2pa＝0　,　　　　　　　　           ……………………6分

∴　 y₁y₂＝－2pa ,    ①　　　　　　　　　            ……………………7分

    设F(b,0)，R(x₃,y₃)，同理可知：

y₁y₃＝－2pb ,   ②　　　　　　　　　            ……………………8分

　　由①、②可得 ＝ ,  ③　　　　　　　　             ……………………9分

    若 ＝3，设T(c,0)，则有

(x₃－c,y₃－0)＝3(x₂－c,y₂－0),

∴　y₃＝3y₂　  即　＝3,　　④　　　　　           ……………………10分

　　将④代入③，得　b＝3a．　　　　　　　　　           ……………………11分

又由（Ⅰ）知，?＝0　,

∴　 y₁y₂＝－4p²，代入①，

得－2pa＝－4 p²　　∴　　a＝2p,　　　　　　           ……………………13分

∴ b＝6p,

故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得 ＝3．　………………14分

注：若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．

5．解: (Ⅰ)设……………………………………………………………………………1分

因为,所以……………………………………..3分

化简得:. ……………………………………………………………..4分

(Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意…………………………………………6分

设直线的方程为

将代入得

…………(1)   …………(2)  ……………………………….8分

(1)-(2)整理得:  ……………………………11分

直线的方程为

即所求直线的方程为……………………………………………12.分

解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.

故设直线的方程为,将其代入化简得

由韦达定理得,

又由已知N为线段CD的中点,得,解得,

将代入(1)式中可知满足条件.

此时直线的方程为,即所求直线的方程为

6．（Ⅰ）解：设　则

　　……………………………………………...2分

由　得　，　……………………………………………..4分

又　　即，……………6分

由　得　……………………………………………………..8分

（Ⅱ）设，

 因为 ，故两切线的斜率分别为、……………………………10分

由方程组　得　  ………..12

当时，，，所以

所以，直线的方程是　　……………………………….14分

7．解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是

|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴

点Q的轨迹E方程是：.…………………………4分

   （2）设Ｆ（x₁，y₁）H（x₂，y₂），则由，

        消去y得

        …………………………6分

        又点O到直线FH的距离d=1，

8．解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，--------2分

∵，∴，-----------------------------------4分

又得    ∴     

∴，-------------------------------6分

∴所求椭圆C的方程为．------------------------------------------------7分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为

则，,

由－4得－，

∴点P的轨迹方程为------------------------------------9分

设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，

解得：，------------------------------11分

∵点在椭圆上，∴ ，整理得解得或

∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------13分

经检验和都符合题设，

∴满足条件的点P的轨迹方程为或．----------------14分

9．（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．解得．

∴椭圆的方程为．

当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．解得，这与矛盾．

综上可知，椭圆的方程为．                               ……4分

解法二：设椭圆方程为（），

将、、代入椭圆的方程，得

解得，．

∴椭圆的方程为．                                     ……4分

（Ⅱ）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得，                                    ……6分

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．              ……8分

直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为．       ……10分

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：

∵，，

∴

．

因此结论成立．

综上可知，直线与直线的交点在直线上．                ……14分

证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得，                                    ……6分

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．              ……8分

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．   ……10分

由直线与直线的方程消去，得

  ．

∴直线与直线的交点在直线上．                         ……14分

证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得，                                    ……6分

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．              ……8分

消去得，．                               ……10分

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．     ……12分

由直线与直线的方程消去得，

．

∴直线与直线的交点在直线上．                     ……14分

10．解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得

                ①

设A、B两点的坐标分别是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程①的两根。