第六讲 求通项公式

★★★高考在考什么

【考题回放】

1. 已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，且S_n=2(a_n -1)，则a₂等于(  A  )

A. 4        B. 2         C. 1        D. -2

2．在数列中，，且，则  35 ．

3．在数列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.

4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2ⁿ⁺¹-2    .

5.已知数列{}的前项和，则其通项        ；若它的第项满足，则       . 2n-10  ;  8

6.已知数列对于任意，有，若，则           ．4

7. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁, a₃, a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n .

解析  ∵10S_n=a_n²+5a_n+6，     ①    ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)， ②

   由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

★★★高考要考什么

一、 根据数列{a_n}的前n项和求通项Sn= a₁+ a₂+ a₃+ ……+ a_n   

已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候a_n,但不可忽视n=1.

二、由递推关系求数列的通项

1. 利用迭加a_n-a_n-1=f(n)、迭乘a_n/a_n-1=f(n)、迭代。

2.一阶递推,我们通常将其化为看成{b_n}的等比数列。

3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得a_n）。

4.对含a_n与S_n的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】记

（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

解析（I）

整理得

（Ⅱ）由

所以

．

【变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．

解：（I），，，

因为，，成等比数列，所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于

，

，

…………

，

所以．

又，，故．当时，上式也成立，

所以

【范例2】设数列的首项．

（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．

解：（1）由  整理得  ．

又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：    由（1）可知，故．则

又由（1）知且，故，因此  为正整数．

方法二：由（1）可知，

因为，所以  ．

由可得，即  

两边开平方得    ．即 为正整数

【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．

求证：(1)；      (2)若表示数列的前项之和，则．

解析： (1)由已知得，

又因为，所以, 因此，即．

(2) 由结论(1)可知  ，即，

于是，即．

【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P₁，再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂），如此进行下去，得到点列{ P_n}}.

求：（Ⅰ）的关系式；

   （Ⅱ）数列的通项公式；

（Ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐

解析 （Ⅰ）由题得 

过点P₁（的切线为

过原点

又过点P_n（的

因为过点P_n-1（  

整理得

（Ⅱ）由（I）得

所以数列{x_n-a}是以公比为的等比数列

（Ⅲ）

的极限位置为（

【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S_n，求通项，破解方法：利用S_n-S_n-1= a_n，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

【变式】已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.

求证：当n时，(Ⅰ)  x （Ⅱ）.

解、 (I ) 证明：因为

所以曲线在处的切线斜率

即和两点的直线斜率是 以.

（II）因为函数，当时单调递增，

而，

所以，即   因此

又因为  令  则

因为    所以

因此  故