1．设是否空集合，定义且，已知

   B=，则等于___________

2．若是纯虚数，则的值为___________

3．有一种波，其波形为函数的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是___________

4．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每做作业时间（单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是___________

5．已知直线与圆相交于，两点，是优弧上任意一点，则=___________

6. 已知是等差数列，，则该数列前10项和=________

7. 设的内角，所对的边长分别为，且则

的值为_________________

8．当时，，则方程根的个数是___________

9．设是的重心，且则的大小为___________

10．设，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是________________

11．设双曲线=1的右顶点为，右焦点为，过点作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为___________

12．若关于的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是_______________

13．已知函数的大小关系为_____________

14．如果一条直线和一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为________

15. 设函数。

   （1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

   （2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。

16. 如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1,AA₁=2,

G是CC₁上的动点。

（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）判断B₁C₁与平面ADG的位置关系，并给出证明；

17. 某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：

高一

高二

高三

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？

（Ⅱ）已知求高三年级女生比男生多的概率.

18. 已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.

19. 过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁。又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，…。依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为。

   （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式；

   （2）求证：；

   （3）当的前n项和S_n。

20.设函数f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（1）                   当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;

（2）                   当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;

（3）                   是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

试题答案

1. （2，） 2.   3.5  4. ．0.40  5.   6.100   7.4  8. 2个    9. 60°

10. （-2，2）11.   12．     13．    14．

15. 解（1）           

故函数的单调递减区间是。                

（2）

当时，原函数的最大值与最小值的和

的图象与x轴正半轴的第一个交点为                         

所以的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积

16. .解：（Ⅰ）∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD

        ∴平面

        ∵平面    ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）当点G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，

当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG

证明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴B₁C₁∥AD

若点G与C₁重合， 平面ADG即B₁C₁与AD确定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若点G与C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG

17. 解:（Ⅰ）-           

高三年级人数为

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为            

(人).                     

（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.

由（Ⅰ）知且

则基本事件空间包含的基本事件有

共11个,  

事件包含的基本事件有

共5个   

答：高三年级女生比男生多的概率为.

18. 解:(Ⅰ)因为，所以有

所以为直角三角形；

则有

所以，

又，

在中有

即，解得

所求椭圆方程为

 (Ⅱ)

从而将求的最大值转化为求的最大值

是椭圆上的任一点，设，则有即

又，所以

而,所以当时，取最大值

故的最大值为₈.

19. 解：（1）对求导数，得的切线方程是

当n=1时，切线过点P（1，0），即0

当n>1时，切线过点，即0

所以数列

所以数列                       

   （2）应用二项公式定理，得

（3）当

，

同乘以                        

两式相减，得

所以                                               

20. 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得

当时;;当时，

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故.

（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, )

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=

即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。