扬州市2006―2007学年度第二学期高三调研测试试题
数 学
本试卷选择题10题，非选择题11题，共21题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项
1、 答题前考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡的密封线内.
2、 将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效.
3、 考试结束，只交答题卡.
4、
参考公式：球的体积公式
；一组数据
的方差
（其中
为这组数据的平均数）；独立重复试验概率公式
.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在第II卷答题栏内。
1．设全集
=
，
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
2．
的展开式中，含有
的正整数次幂的项共有
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
3．高三（10）班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：
1
2
3
4
5
6
甲
122
120
125
116
120
117
乙
118
125
120
122
115
120
仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是
A．甲稳定 B．乙稳定 C．甲与乙一样稳定 D．不能确定
4．设
为不同的平面，
为不同的直线，则
的一个充分不必要条件是
A．
B．
C．
D．
5．在
中，已知
，则
A．
.
B．
.
C．
D．
6．已知定义在R上的函数
满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有
②对于任意的
，都有
③
的图象关于y轴对称．
则下列结论中，正确的是
A． 
B．
C． 
D．
7．A、B、C、D、E五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B，C两人要住编号相邻房间的住法种数为
A．24
B．
8．椭圆
的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为O、F、A、H，则
的最小值为
A．2
B．
9．某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是
A．
B．
C． 
D．
10．设方程
的两根为
，
（<），则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在横线上.
11.在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的周长为 ▲ .
12.已知函数
的图象与直线
的交点中最近的两点间的距离为
，则函数
的最小正周期等于 ▲
13．球O上两点A、B间的球面距离为
，
有一个内角为，则此球的体积是 ▲ .
14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为
，则其离心率为
▲ .
15．若直线
始终平分圆
的周长，则
的最小值为
▲
.
16．已知函数
(
)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2.定义
是函数
的值域中的元素个数，数列
的前n项和为
，则满足
的最大正整数n= ▲
.
三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分） 中，角A、B、C所对的边分别为
、
、
，已知
（1）求
的值；
（2）求的面积。
18. （本题满分14分） 已知
,点
在
轴上，点
在轴的正半轴上，点
在直线
上，且满足
，
。
（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹
的方程；
（2）设
为轨迹上两点，
，
，
，若存在实数
，使
，且
，求的值。
19．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱
中，
，
，三棱锥
中，
，且
。
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求点到平面
的距离。
20．（本题满分14分）设函数
，已知
，且
（a∈R，且a≠0），函数
（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。
（1）试求a、b的值；
（2）若
时，函数
的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。
21．（本题满分16分）已知数列{an}满足
，
，
，
为正数 .
（1）若
对恒成立，求m的取值范围；
（2）是否存在，使得对任意正整数
都有
？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由。
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
A
B
C
C
D
二、填空题：（每小题5分，共30分）
11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 2或
； 15. 
； 16. 9.
三、解答题：（5大题，共70分）
17.（1）由
，得
------------3分
为锐角，
， -------5分
--------------------------6分
（2）
---8分
又
，
，得
，
--------------------------10分
--------------------------12分
（若通过
得出
，求出
，
未舍去
，
得两解，扣2分.）
18.（1）设点
，由
得
，
，
由
，得
， ------------------------4分
即
.
---------------------6分
（2）由(1)知
为抛物线
：
的焦点，
为过焦点的直线与的两个交点.
①当直线
斜率不存在时，得
，
，
. ----8分
②当直线斜率存在且不为0时，设
，代入得
.设
，
则
，得
， ----12分
（或
）
，此时
，由
得
。
---------------14分
19.解法一：
（1）在
中，
，
，
∴
，取
中点
，
， 
，
在
中，
，
，又
均为锐角，∴
， ---------------2分
，又
外， 
. ---------------4分
（２）∵平面
平面
，∴
，过作
于
，连结
，则
，
为二面角
的平面角， ------------------------6分
易知
=
，∴
，
二面角
的大小为
. ------------------------9分
（其它等价答案给同样的得分）
（３）
，
点到平面
的距离，就是到平面的距离，-------------------------------11分
过作
于
，则
，
的长度即为所求， 由上
（或用等体积
求）----------------------------------14分
解法二：
如图，建立图示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
（1）
（2）利用
，其中
分别为两个半平面的法向量，
或利用
求解.
（3）利用
，其中
为平面的法向量。
20.（1）
，∴
①
又
，∴
，即
②
由①②得
，
.又
时，①、②不成立，故
.------2分
∴
，设x1、x2是函数
的两个极值点，则x1、x2是方程
=0的两个根，
，
∴x1+x2=
，又∵ A、O、B三点共线，
=
，
∴
=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0. ----------------6分
（2）
时，
，
-----------------------7分
由
得
，可知在
上单调递增，在
上单调递减，
. ---------------------9分
①由
得
的值为1或2.（∵
为正整数） -----------------11分
②
时，记在
上切线斜率为2的切点的横坐标为
，
则由
得
，依题意得
，
得
与
矛盾.
（或构造函数
在
上恒正）
综上，所求的值为1或2.
-----------------------14分
21.（1）∵
为正数，
①，
=1，∴
>0（n∈N*），……… 1分
又
②，①―②两式相减得
，
∴
与
同号，
---------------------4分
∴
对n∈N*恒成立的充要条件是
>0.
---------------------7分
由=
>0，得>7 .
---------------------8分
（2）证法1：假设存在，使得对任意正整数
都有
.
则
，则>17 .
--------------------9分
另一方面，=
=
，---------11分
∴，
，……，，
∴
，∴
=
， ①
--------------------------------14分
当m>16时，由①知，
，不可能使
对任意正整数n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 .
--------------------------------16分
（2）证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有 .
则，则>17 .
--------------------9分
另一方面，
，
------------------11分
∴
，
，……，
，
∴
，
①
-----------------14分
当m>16时，由①知，，不可能使对任意正整数恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 。
-----------------------------16分
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