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    2008年福州市高三第二次质检

    数学(理科)试卷

     

    (考试时间：120分钟；满分150分)

     

    注意事项：

    1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；

    2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

    参考公式：

    如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

    如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）．

    如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

    球的表面积公式,其中R表示球的半径.

    球的表体积公式,其中R表示球的半径.

    第Ⅰ卷 （选择题  共60分）

    一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）

    1．若为实数，则复数有可能等于（　　）.

    A．     B．       C．        D．

    2．已知集合，，则（    ）.

    A．           　B．           　C．            　D．

    3.  函数的反函数是（　　）.

    A．                B．

    C．                D．

    4. 直角坐标系中，，若三角形是直角三角形，则的可能值的个数是（　　）

        Ａ．1             Ｂ．2             Ｃ．3             Ｄ．4

     

    5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ）

     

     

     

              A                                 B                         C                              D

    6. 已知首项为正数的等差数列满足: ,,则使其前

    n项和成立的最大自然数n是（　　）.

        A. 4017        B.4014       C. 4016          D.4018

    7. 已知a,b,c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，M∩N =c ．①若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；②若a//b，则必有a//c；③若a⊥b，a⊥c则必有M⊥N以上的命题中正确的是（    ）

        A．①             B．②             C．③             D．②③

    8. 如果把圆C:x2+y2=1沿向量a=(1,m)平移到,且与直线3x-4y=0相切,则m的值为（    ）

    A.2或-      B.2或        C.-2或        D.-2或-

    9. 某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有           

    A．120种        B．48种           C．36种           D．18种

    10．已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数的最小值是（    ）

    82615980

    11. 已知函数，在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ）

    A.有最小值        B.有最大值       C.是减函数       D.是增函数

    12. 在平面直角坐标系中，，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（    ）

               

    A.                 B.                  C.               D.

     

    第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

    二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）

    13. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是      ．

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    14. 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则        ．

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    15. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为     ．

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    16. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为        ．                      

     

     

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    三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）

    17．（本小题满分12分）

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    已知函数=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=，f()=.

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    （Ⅰ）求的解析式；

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    （Ⅱ）求的单调递增区间；

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    （Ⅲ）函数的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？

     

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    18．（本小题满分12分）

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    三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为、、.

    （Ⅰ）一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？

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    （Ⅱ）用随机变量表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.

     

     

     

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    19．（本小题满分12分）

    如图，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

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        （Ⅰ）求与平面A1C1CA所成角的大小；

        （Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；

        （Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD.

     

     

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    20．（本小题满分12分）

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    数列的前项和为，满足关系： .

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    (Ⅰ)求的通项公式：

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    (Ⅱ)设计算.

     

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    21．（本小题满分12分）

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    已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：∠APB=2,且|PA||PB|sin2θ=2，

    （Ⅰ）求证：动点P的轨迹Q是双曲线；

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    （Ⅱ）过点B的直线与轨迹Q交于两点M，N.试问轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

     

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    22．（本小题满分14分）

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    已知函数

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       （Ⅰ）求函数的单调区间和最小值；

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       （Ⅱ）当（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）；

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       （Ⅲ）若

     

    2008年福州市高三第二轮质检

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    一.选择题   1-5   6-10   11-12     BBDBC  CBACC  DA

     

    二．填空题   13. 1 ;   14. 2;    15. ;   16.  -1

     

    三、解答题

    17.解：（Ⅰ）由f(0)=，得2a-=，∴2a=，则a=.

    由f()=，得+-=，∴b=1，…………2分

    ∴f(x) =cos2x+sinxcosx -=cos2x+sin2x=sin(2x+).…………4分

    （Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).

    又由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，

    ∴f（x）的单调递增区间是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．?…………8分

    （Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+)，

    ∴函数f(x)的图象右移后对应的函数可成为奇函数．…………12分

     

    18．解：（I）一次射击后，三人射中目标分别记为事件A1，A2，A3，

    由题意知A1，A2，A3互相独立，且,…………2分

    .…………4分

    ∴一次射击后，三人都射中目标的概率是.…………5分

    （Ⅱ）证明：一次射击后，射中目标的次数可能取值为0、1、2、3，相应的没有射中目标的的次数可能取值为3、2、1、0，所以可能取值为1、3, …………6分

    则）+

     ………8分

    ∴，………10分

    ∴＝.………12分

    19．解：（Ⅰ）连接A1C.∵A1B1C1－ABC为直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.

        ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分

        ∴为与平面A1C1CA所成角，

    .

    ∴与平面A1C1CA所成角为.…………3分

    （Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM，

        ∵BC⊥平面ACC­1A1，∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影，

        ∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角，………………………5分

        平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，

        ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.……7分

        即二面角B―A1D―A的大小为.……………………8分

    （Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A1BD.……………9分

    证明如下：

    ∵A1B1C1―ABC为直三棱柱，∴B1C1//BC，

    ∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，……………10分

    ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，当F为AC的中点时，

    C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.

    同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分

    文本框: 解法二：

    （Ⅰ）同解法一……………………3分

    （Ⅱ）∵A1B1C1―ABC为直三棱柱，C1C=CB=CA=2，

    AC⊥CB，D、E分别为C1C、B1C1的中点.

    建立如图所示的坐标系得：

    C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

    C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A­1（0，2，2），

    D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分

    ，设平面A1BD的法向量为，

      .…………6分

    平面ACC1A1­的法向量为=（1，0，0），.………7分

    即二面角B―A1D―A的大小为.…………………8分

    （Ⅲ）F为AC上的点，故可设其坐标为（0，，0），∴.

    由（Ⅱ）知是平面A1BD的一个法向量，

    欲使EF⊥平面A1BD，当且仅当//.……10分

    ∴，∴当F为AC的中点时，EF⊥平面A1BD.…………………12分

     

    20．解：(Ⅰ) 据题意： ，

    .

       两式相减,有：，…………3分

     .…………4分

    又由=解得. …………5分

    ∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.…………6分

     (Ⅱ)

     ………8分

    …………12分

     

    21．解: （Ⅰ）依题意，由余弦定理得：

    , ……2分

    即

    　　

    .

    ,即.　　…………4分

    （当动点与两定点共线时也符合上述结论）

    动点的轨迹Q是以为焦点,实轴长为的双曲线．其方程为.………6分

    (Ⅱ)假设存在定点,使为常数．

    （1）当直线不与轴垂直时，

    设直线的方程为,代入整理得:

    ．…………7分

    由题意知，．

    设,,则,．…………8分

    于是，   …………9分

    ．…………10分

    要使是与无关的常数，当且仅当，此时．…11分

    （2）当直线与轴垂直时，可得点,，

    当时，．   

    故在轴上存在定点,使为常数.…………12分

     

    22．解：（Ⅰ）………1分

           

            同理，令

            ∴f(x)单调递增区间为，单调递减区间为.……………………3分

            由此可知…………………………………………4分

       （Ⅱ）由（I）可知当时，有，

            即.

        .……………………………………………………………………7分

      （Ⅲ） 设函数…………………………………10分

           

            ∴函数）上单调递增，在上单调递减.

            ∴的最小值为，即总有

            而

           

            即

            令则

           

            ……………………………………14分

     


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