2009潞河中学高三解析几何三轮训练题

1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度.

2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。

据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，

身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是

一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），

且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空

中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时

运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的

翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；

(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹

为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时

距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？

请通过计算说明理由；

(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？

3已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．

4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

   （1）求直线AB的方程；

   （2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

5. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

6. 如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使

⑴求动点N的轨迹C的方程；

⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，

若若线段AB的长度满足：

，求直线的斜率的取值范围。

7. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.

⑴求双曲线的标准方程;

⑵若直线与双曲线交于不同的两点、,且、两点都在以点为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.

8. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）点P是椭圆上一点，求的最值；

（3）若，求m的取值范围．

9. 已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．

（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．

解析几何训练题答案

1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度.

解:以拱桥的顶点为原点，建立坐标系如图，

设抛物线方程为，

取点A(4,-2)代入方程得p=4,

所以抛物方程为

故当水面上升1米时，即y=-1

此时,则水宽度为

2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。

据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，

身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是

一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），

且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空

中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时

运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的

翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；

(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹

为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时

距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？

请通过计算说明理由；

(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？

.解：(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为,且

     ∴;

即

∴且,得且

∴,所以解析式为：  

(Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，

所以此时运动员距水面距离为，故此次跳水会出现失误

(Ⅲ) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为,

则.

  ∴,即∴

 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米。

3已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．

解：(Ⅰ) 圆A的圆心为，  

设动圆M的圆心为

由|AB|=，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r₁-r₂，

即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，

由

故曲线C的方程为

(Ⅱ)当，

  …

消去    ①    

由点为曲线C上一点，

于是方程①可以化简为 解得，

综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为.   …………… 14分

4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

   （1）求直线AB的方程；

   （2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

4. （1）设直线AB：代入得

            （＊）

        令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程的两根

        ∴   且    

        ∵     ∴  N是AB的中点   ∴ 

        ∴      k = 1    ∴AB方程为：y = x + 1  

   （2）将k = 1代入方程（＊）得   或  

        由得，

        ∴  ，

        ∵      ∴  CD垂直平分AB    ∴  CD所在直线方程为

        即代入双曲线方程整理得

        令，及CD中点

        则，，  ∴， 

        |CD| =，

        ，即A、B、C、D到M距离相等

        ∴  A、B、C、D四点共圆.

5. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

解（1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)

则    由得3s―t²=0………………①

又由得

，     ……………………②

把②代入①得=0，即y²=4x，又x≠0

∴点M的轨迹方程为：y²=4x（x≠0）

（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则

设，则由可得

解得

又

则直线AB的方程为：

即把代入，化简得

令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）

答，存在点H（4，0），满足题意。

6. 如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使

⑴求动点N的轨迹C的方程；

⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，

若若线段AB的长度满足：

，求直线的斜率的取值范围。

解(1) 设动点则直线的方程为，令。是MN的中点，，故，消去得N的轨迹C的方程为.

(2) 直线的方程为，直线与抛物线的交点坐标分别为,由得，

  又由得

  由可得，解得的取值范围是

7. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.

⑴求双曲线的标准方程;

⑵若直线与双曲线交于不同的两点、,且、两点都在以点为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.

解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程

由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,

所以双曲线的方程为.

(2)设线段的中点为.

由

则且    ①

由韦达定理的由题意知,

所以  ②

由①、②得 或

8. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）点P是椭圆上一点，求的最值；

（3）若，求m的取值范围．

解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝1- ，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　   

（2）设2x²=sin²θ,y2=cos²θ, _=…

（3）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　        

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　  …

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，   因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，

∴－1<m<－ 或 <m<1     容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）

9. 已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．

（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．

解: (1)  由（x－12）²+y²=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)，

依题意，∠ABM=∠BAM=，k_AB= , 设MA、MB的斜率k.

则且,

解得=2，=－ ．

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．

(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ₁，θ₂，则tanθ₁＝2，tanθ₂＝－，

设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），

再设抛物线方程为y²＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，

∴ ∴ r=4，p=2．

得抛物线方程为y²＝4x.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m